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Transkript Termumformungen – Grundregeln

Hallo! Du kennst positive und negative Zahlen. Du kennst auch rationale Zahlen. Das sind Brüche oder auch Dezimalzahlen, wie man sagt. Kommazahlen kann man auch sagen. Du kannst mit diesen Zahlen rechnen, also die Grundrechenarten ausführen: +, -, × und ÷. Oder wie man auch gebildet sagen kann: addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren. Diese Rechnungen kannst du aufschreiben.Wenn du so etwas aufschreibst, ist das ein Term, denn das kann man dann ausrechnen, wenn du das richtig aufgeschrieben hast. Das kannst du in beliebiger Länge aufschreiben. Terme können sehr lang sein. Und deshalb, damit man da nicht den Überblick verliert, gibt es Regeln, nach denen Terme aufgestellt werden und nach denen Terme ausgerechnet werden. Und diese Regeln möchte ich jetzt hier einfach mal zeigen. Es geht los mit: Zuerst werden Klammern ausgerechnet. Ich hoffe, das ist nichts Neues. Deshalb sind Klammern da, damit sie die Reihenfolge der Rechnung angeben. Wenn du mehrere Klammern vorfindest, dann rechnest du von innen nach außen. Das heißt, die innere Klammer wird zuerst ausgerechnet. Dann werden nach und nach die äußeren Klammern ausgerechnet. Es gilt, wenn da keine Klammern stehen, Punkt- vor Strichrechnung. Also so etwas wie 3-2×7 rechnest du so aus, dass du erst 2×7 ausrechnest und dann das Ergebnis von 3 abziehst. Das ist nichts Neues, denke ich, brauche ich nicht weiter vormachen. Wenn nichts weiter gesagt wird, rechnest du einfach von links nach rechts. Die meisten Leute bei uns in Deutschland schreiben ja auch von links nach rechts. Und deshalb hat man gesagt, okay, dann rechnen wir auch von links nach rechts, wenn nichts weiter da steht. Dann gibt es ein Gesetz, und zwar das Kommutativgesetz der Addition. Und es gibt auch das Assoziativgesetz der Addition. Da muss ich aufpassen, dass mir hier nicht ganze Gesetze herunterfallen. Hier ist das Assoziativgesetz der Addition. So, das muss hier noch warten eben. Ja, das ist auch nichts Neues. Diese beiden Gesetze, also das Kommutativgesetz und das Assoziativgesetz, stellen sicher, dass du mehrere Summanden vertauschen kannst. Also nicht nur vertauschen, sondern dass du sie in einer beliebigen Reihenfolge hinschreiben kannst und das Ergebnis immer gleich bleibt. Den Beweis zeige ich jetzt hier nicht, das ist ein bisschen formal. Auf jeden Fall ist es richtig, dass du auch mehrere Summanden, also mehr als 2 oder 3 oder 4 oder 5, dass du die einfach in irgendeine andere Reihenfolge bringen kannst und so zum Beispiel sehr vorteilhaft dann ausrechnen kannst. Das Gleiche gilt für das Kommutativgesetz und das Assoziativgesetz der Multiplikation. Wenn du viele Faktoren hast, kannst du diese ganzen Faktoren auch in eine andere Reihenfolge bringen und so vielleicht praktischer das Ergebnis bestimmen eines solchen Terms, der viele Faktoren hat. Hier sind also das Kommutativgesetz der Multiplikation und das Assoziativgesetz der Multiplikation. Ja und dann fehlt natürlich noch unser König, und zwar das Distributivgesetz. Meistens wird es so aufgeschrieben oder ich weiß nicht, ist auch egal. Ich schreibe es jetzt so auf: a×(b+c)=a×b+a×c. Wie du ja weißt, kann man das auch umdrehen, auch so herum, so herum, was weiß ich. Weil das so ist, deshalb habe ich das hier auf so einer Formelschablone stehen. Denn wenn man es umdreht, kann man die Buchstaben wieder anders herum aufschreiben und das Prinzip bleibt erhalten. Kurze Anmerkung zur Bezeichnung: Der Schritt von hier nach da, der heißt Ausmultiplizieren, weil man die Klammer hier quasi ausmultipliziert. Man rechnet a × 1. Summand + a × 2. Summand. Das hat man hier gemacht. Der Schritt von hier nach da heißt Ausklammern. Auch so kann man das ja anwenden. Wenn ich das jetzt so hinlege, dann ist das, was hier herauskommt auch gleich das, was hier herauskommt. Und da kenne ich das schon, dass viele Schüler sagen: Ja, wieso? Es werden doch b und c eingeklammert. Dann müsste der Schritt doch eigentlich Einklammern heißen. Ja, ist richtig, kann man so sehen. Aber das a steht jetzt vor der Klammer, und deshalb ist das a ausgeklammert worden. Naja, du siehst, man musste sich auf eine Sache einigen. Und man hat sich darauf geeinigt, der Schritt von hier nach da heißt Ausklammern und nicht Einklammern. Und ich denke, damit kann man auch leben, das ist auch nicht so schlimm. Ja, dann gibt es 1 bis 2 Dinge noch zu beachten, die mit Minuszeichen zu tun haben und mit Geteiltzeichen. Zum Beispiel könnte man sich ja fragen, ob denn das Kommutativgesetz der Addition auch gilt, wenn da zum Beispiel steht: 3-7. Und die Antwort ist: Nein, dann gilt es nicht. Aber man hat ja irgendwie das Gefühl, auch da kann man ja etwas vertauschen. Und das geht dann, wenn man das Subtrahieren auffasst als das Addieren einer negativen Zahl. Ja, das weißt du, dass das geht. Statt 7 abzuziehen, kann man auch einfach sagen, ich addiere die negative Zahl -7. Und auf diesen Term hier kannst du das Kommutativgesetz anwenden. Dann steht da (-7)+3. Und da lässt man in der Regel die Klammer hier vorne weg, also einfach: -7+3. Jeweils kommt das Ergebnis -4 heraus. Die Frage, die sich hier natürlich anschließt, ist dann: Was ist mit dem Kommutativgesetz der Multiplikation? Kann man da auch vielleicht etwas teilen? 6÷3, naja das ist =2. Die Frage ist, kann man das vertauschen? 3÷6 ist nicht das Gleiche, das ist nicht 2. Aber man kann auch hier das Kommutativgesetz anwenden. Und zwar, wenn man bedenkt, dass das Teilen durch 3 das Gleiche ist, wie das Multiplizieren mit 1/3, also mit der multiplikativen Gegenzahl, so sagt man das auch. 6÷3 ist das Gleiche wie 6×1/3. Und hier kann man nun die beiden Faktoren vertauschen. 1/3×6, das ist auch =2. Und dann gilt hier also auch das Kommutativgesetz der Multiplikation. Eine Möglichkeit, Minuszeichen hier im Distributivgesetz zu verwenden, gibt es auch. Ich kann das hier mal ersetzen durch konkrete Zahlen. Ich nehme mal eine 2 und 1, warum nicht, - 5. Dann muss ich das hier auch ersetzen jeweils. Hier eine 2, eine 1, Minuszeichen steht schon da, hier wieder eine 2 auf Grün und eine 5 auf Lila oder Pink ist ja egal. So. Gilt jetzt auch das Distributivgesetz hier mit dem Minuszeichen? Ja, es gilt. Aber meistens wird das Distributivgesetz nicht mit so einem Minuszeichen geschrieben, sondern mit einem Pluszeichen. Und dann ist die Frage: Wie kann man es trotzdem dann auf negative Zahlen anwenden, die dann vielleicht dahinter kommen? Das geht so, indem man auch das Pluszeichen hinschreibt und hier dann die negative Zahl -5 addiert. Dann muss ich das hier auch machen. Hier steht dann ein Pluszeichen, und hier hinten steht die negative Zahl -5. In beiden Fällen kommt dann auch hier das gleiche Ergebnis heraus. Und damit kann man auch das Distributivgesetz auf negative Zahlen anwenden. Das geht natürlich nicht nur hier mit der negativen Zahl, das geht auch hier auf der 1 oder auf Gelb oder auf Grün. Jeweils müsste man dann auch Klammern darum setzen, damit man hier auch zum Beispiel vernünftig multiplizieren kann. Dann ist noch eine Sache zu erwähnen, die oft Schwierigkeiten bereitet. Und zwar sind das die, wie man so sagt, Minusklammern. Da habe ich auch mal ein Beispiel vorbereitet: 16-(7-3). Und hier passiert das häufig, dass eben nicht beachtet wird, dass man hier erst die Klammern ausrechnen muss und danach alle weiteren Rechnungen ausführt. Also man muss ja erst 7-3 rechnen und das Ergebnis davon von 16 abziehen. Man kann hier auch die Klammer auflösen. Und zwar, indem man sich vorstellt, dass vor der Zahl 7 noch ein Pluszeichen steht. Dann könnte da also stehen: 16-(+7-3). Ja, warum macht man das so umständlich? Weil dann eine Regel gilt. Die Regel besagt nämlich, du kannst eine Klammer, vor der ein Minuszeichen steht, auflösen, indem du die Klammer und das Minuszeichen davor weglässt und alle Vorzeichen der Summanden in der Klammer änderst. Das mache ich noch mal langsam vor. Also die Vorzeichen der Summanden in der Klammer müssen geändert werden. Hier steht also +7, dann muss ich hier -7 hinschreiben. Hier steht -3, dann muss ich +3 hinschreiben. Ja, die Vorzeichen werden ausgetauscht. Und jetzt kann ich die Klammer und das Minuszeichen vor der Klammer weglassen. Dann kommt hier also nur noch die 16 hin. Und dann habe ich die Klammer aufgelöst. Und das Ergebnis ist auch wieder das gleiche. Wir können es ja eben nachrechnen. Hier steht also 7-3, das ist ja =4. 16-4=12. Und ich kann es hier auch noch einmal nachrechnen. 16-7, wir rechnen ja jetzt, weil da nichts weiter steht, von links nach rechts. 16-7=9. 9+3=12. Also hier gibt es auch das richtige Ergebnis. Ja, das soweit zu den Termen mit den Zahlen. Ich hoffe, es war nicht zu durcheinander. Aber das war auch nur die kurze Zusammenfassung. Du solltest die ganzen Gesetze auch mittlerweile dann einfach im Kopf haben. Dann wünsche ich noch viel Spaß beim Rechnen. Bis bald, tschüss!  

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43 Kommentare
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    OK DANKE

    Von Steffen Matheis 1, vor 2 Monaten
  2. Default

    ah ok danke

    Von Sofix, vor 4 Monaten
  3. Felix

    @Sofix: Das ist womöglich ein technisches Problem. Bitte logge dich bei sofatutor aus und schließe deinen Browser (Firefox, Safari, Internet Explorer ...). Stelle sicher, dass alle Fenster deines Browser auch wirklich geschlossen sind. Öffne ihn dann erneut und logge dich wieder bei sofatutor ein und versuche es erneut.
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    Von Martin Buettner, vor 4 Monaten
  4. Default

    erklärung bittte

    Von Sofix, vor 4 Monaten
  5. Default

    WARUM stürtzt das Viedeo immer ab?Video kann nicht geladen werden!

    Von Sofix, vor 4 Monaten
  1. Default

    wie ist die zusammensetzung von -7(34)-4 ?

    Von Sofix, vor 4 Monaten
  2. Thomas

    @Louiss B.: Die Klammerauflösung ist korrekt. Wie hier auch schon kommentiert wurde, kann man eine Klammer auflösen vor der ein Minuszeichen steht, indem man alle Vorzeichen der Zahlen in der Klammer umkehrt und auch das Minus vor der Klammer weglässt.
    Am Beispiel:
    16-(7-3)
    Hier könnte man auch zunächst die Klammer berechnen, was zu:
    16-(4) führen würde, oder eben kurz 16-4.
    Das Ergebnis ist also: 16-4 = 12.
    Würde man die Klammer auflösen, also alle Vorzeichen in der Klammer umkehren und das Minus vor der Klammer weglassen, würde man folgendes erhalten: 16-7+3. Die 7 wird zur -7 und die -3 zur +3.
    Berechnet man das Ergebnis, kommt man auch auf 12.
    16-7+3 = 9+3 = 12 Also war die Umformung korrekt.

    Von Thomas Scholz, vor 9 Monaten
  3. Images

    Die Klammer-Auflösung ist aber falsch
    - (7 - 3) = 7 + 3 und nicht -7 + 3

    Von Louiss B., vor 9 Monaten
  4. Felix

    @Tamara Junos: Man kann eine Minusklammer weglassen, indem man die Vorzeichen der Zahlen in der Klammer umdreht. Ein Beispiel: -(7-3)=-(7-3)=-7+3. Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte.
    Bei weiteren Fragen hilft dir auch gerne der Hausaufgaben-Chat, der Mo-Fr von 17-19 Uhr verfügbar ist.

    Von Martin Buettner, vor etwa einem Jahr
  5. Default

    wieso sind die klammern weg bei dieser minus-klammer?

    Von Tamara Junos, vor etwa einem Jahr
  6. Default

    Gut erklärt weiter so

    Von Ms Kittel, vor etwa einem Jahr
  7. Default

    Ein bisschen lang aber hat mir mega geholfen danke

    Von Deleted User 271362, vor etwa einem Jahr
  8. Sarah2

    @ Ilias Stefanidis Im: Du hast vollkommen Recht, in der Aufgabe hat sich ein Fehler eingeschlichen. Er ist bereits korrigiert. Viele Dank für deinen Hinweis!

    Von Sarah Kriz, vor etwa einem Jahr
  9. Default

    HI,
    also ich glaub ich hab ne Denkblockade - Erläuterung, Schritt 3
    Also bis 23-(10-5)-15 bin ich ja gekommen.
    muss es danach denn nicht 23-10+5-15 sein, wenn ich doch die klammer auflöse und alle Vorzeichen ändere???
    Und auch wenn ich die Klammer zuerst ausrechne muss es da nicht 23-5-15 sein, statt 23-(-5)-15 ??
    bitte um Hilfe

    Gruß

    Von Ilias S., vor etwa einem Jahr
  10. Default

    (Y)

    Von Rakan K., vor etwa einem Jahr
  11. Default

    sehr gut erklährt weiter so

    Von Ines Ms, vor etwa einem Jahr
  12. Default

    Finde ihre Videos zu 1000000000000000000000% verständlich ist super ihnen zu zusehen weiter so :p

    Von Sascha 1, vor mehr als einem Jahr
  13. Default

    Super erklärt ;) hab alles verstanden!

    Von Familie Sturm, vor fast 2 Jahren
  14. Image

    Hat mir gut geholfen! Die terme mit den Zahlen

    Von Nike & Finn S., vor fast 2 Jahren
  15. Default

    Gutes Viedeo.Gut erklärt.Das gibt einenDaumen nach oben.
    :)

    Von Tom L., vor fast 2 Jahren
  16. 74854523786

    das ist sehr gut 10000000000000000000000000ß00000000000000
    lobe an ihre viedeos sehr gut mehr!!!

    Von Nabidahamna, vor etwa 2 Jahren
  17. Default

    echt gut

    Von Doeftiger, vor mehr als 2 Jahren
  18. Default

    Richtig gut mach weiter !!! ;)

    Von Tom Paul F., vor fast 3 Jahren
  19. Default

    DANKE FUER DIE HILFE

    Von Siegfried Strautmann, vor fast 3 Jahren
  20. Default

    DANKE FUER DIE HILFE

    Von Siegfried Strautmann, vor fast 3 Jahren
  21. Default

    Sehr gut hat mir sehr geholfen

    Von Bayram071, vor fast 3 Jahren
  22. Default

    mach weiter so
    ist super hammer klasse

    Von Carsten W., vor fast 3 Jahren
  23. Default

    klasse

    Von Leonmetz, vor etwa 3 Jahren
  24. De

    Tolles Video.:D

    Von Julia.1401, vor mehr als 3 Jahren
  25. 92483

    Gut :)

    Von Claudia Zanza, vor mehr als 3 Jahren
  26. Default

    gutes video

    Von Haluk Y., vor mehr als 3 Jahren
  27. Default

    geschekt

    Von Justin99, vor mehr als 3 Jahren
  28. Images

    thank youuu soooooo much :)

    Von Sarahcupcakelove, vor fast 4 Jahren
  29. Default

    Ist gut erklärt

    Von Leenemarie, vor fast 4 Jahren
  30. Images

    Gutes Video

    Von Ben K, vor mehr als 4 Jahren
  31. Images

    Verdammt gut gelungen.(Habs gecheckt).

    Von Ben K, vor mehr als 4 Jahren
  32. Default

    Sau gut erklärt,vielen Dank

    Von Tim Rackensperger, vor mehr als 5 Jahren
  33. Default

    danke ,jetzt hab ichs verstanden

    Von Anseju, vor mehr als 5 Jahren
  34. Default

    danke ,jetzt hab ichs verstanden

    Von Anseju, vor mehr als 5 Jahren
  35. Default

    Super! Vielen Dank! :)

    Von Leonor, vor mehr als 5 Jahren
  36. Default

    Super erklärt.
    Von ganz leicht angefangen und dann drauf aufgebaut.
    So versteh ich das auch. :D
    Danke.

    Von Mara Barnert, vor mehr als 6 Jahren
  37. Default

    gut!

    Von Dietmar, vor mehr als 6 Jahren
  38. Default

    Sie möchte ich gerne als Mathelehrer haben. Super erklärt.

    Von Josefine23, vor fast 7 Jahren
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