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Tangentenformel 14:40 min

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Transkript Tangentenformel

Hallo und willkommen! Es geht um die sogenannte Tangentenformel. Zunächst erst mal zum Begriff der Tangente. Das ist ein Begriff aus der Elementargeometrie. Nehmen wir uns mal einen Kreis und eine Linie oder eine Gerade, die hier dran vorbei geht, nennt man eine Passante. Eine Linie, die den Kreis an 2 Punkten schneidet, nennt man eine Sekante. Und eine Gerade, die den Kreis in genau einem Punkt schneidet, nämlich in diesem, die nennt man eine Tangente an diesen Kreis. Und das gibt es auch bei Funktionen. Schauen wir uns mal eine beliebige Funktion an. Hier in der xy-Ebene zeichnen wir den Graph dieser Funktion. So, das soll die Funktion f sein. Dann können wir hier an den Graphen der Funktion f auch eine Tangente zeichnen. Nehmen wir mal diesen Punkt. Oder wir können auch diesen hier nehmen. In jedem Falle ergibt sich an einer Stelle der Funktion f an einem Punkt des Graphen eine Tangente. Und die Frage, die wir jetzt uns also stellen, ist: Wie findet man diejenige Linie einer Funktion, deren Graph diese Tangente hier ist? Also das ist die. Nehmen wir den Punkt x0. Frage ist hier also, welche Funktion T(x), nennen wir sie T(x), beschreibt die lineare Funktion, deren Graph hier diese Tangente darstellt. Und in diesem Video geht es also darum, die Funktionsformel, die Formel für diese lineare Funktion, zu finden. Und das ist gar nicht so schwer. Es gibt 2 Bedingungen, die diese Funktion T(x) erfüllen muss. Die erste Bedingung ist die, dass der Anstieg dieser, nennen wir sie Tangentenfunktion T an dieser Stelle x0 gleich dem Anstieg der Funktion f sein muss. Was ist der Anstieg der Funktion f im Punkt x0? Das ist die erste Ableitung der Funktion f an dieser Stelle. Also die erste Ableitung als Funktion beschreibt ja die Anstiege und der Anstieg an dieser Stelle ist eben die erste Ableitung ausgewiesen an der Stelle x0. So, und der Anstieg der Tangentenfunktion der muss dort, also die erste Ableitung, muss dort genau so groß sein. Wie ist das noch mal mit einer linearen Funktion? Was ist da die Ableitung, das ist eine Konstante. Schreiben wir Konstante. Und das ist also nichts Besonderes. Wir schauen uns mal an, die allgemeine Form einer linearen Funktion sieht ja so aus. Wir haben 2 reelle Zahlen a und b, die sind fest, und das x ist die Variable. So sieht also allgemein eine lineare Funktion aus und so auch also unsere Tangente. Und was ist da der Anstieg? Das ist hier der Anstieg. Und nicht nur an der Stelle x0 sondern überall. Die Ableitung einer linearen Funktion ist ja konstant, in diesem Falle a. Das heißt, das a haben wir schon bestimmt. Wenn wir die Funktion f haben, können wir auch den Wert der ersten Ableitung an dieser Stelle ausrechnen und damit haben wir schon unser a. Und wir brauchen noch das b, um die Formel zu kennen für die Tangente. Es geht also jetzt hier darum, noch das b zu finden, das a haben wir schon bestimmt. A ist genau der Anstieg der Funktion f an dieser Stelle. Und haben wir erst mal a und b, dann haben wir die ganze Tangente. Also noch mal. Gegeben sei eine Funktion f, deren Graph ich hier so gezeichnet habe, beliebig. Wir wollen gerne die Formel. Das war zu viel, das war eine Sekante. Müssen wir das noch mal bisschen verbessern hier. So, jetzt haben wir eine schöne Tangente. Also noch mal. Es geht um die Funktion f und um die Frage, wie bestimmen wir die Funktion T(x), deren Graph an der Stelle x0 die Tangente an den Funktionsgraph der Funktion f an der Stelle x0 darstellt. Und das machen wir wie folgt. Zunächst erst mal schreiben wir uns hin, welche Form die Funktion auf jeden Fall haben muss. Und das ist diese Form. A und b sind 2 reelle Zahlen. So sieht nämlich ganz allgemein eine lineare Funktion aus. Und hat man also diese beiden Zahlen a und b, dann ist die lineare Funktion hinreichend charakterisiert. Dann hat man sie quasi gefunden. Und jetzt ist die Frage, wie kommen wir mit diesen Informationen hier an a und b heran?  Und das ist nicht so schwer. Also das a bekommen wir ganz schnell. Es gibt aber 2 Bedingungen, die diese Tangentenfunktion erfüllen muss, und diese beiden Bedingungen bestimmen uns die beiden Zahlen a und b. Die erste Bedingung ist die, dass die erste Ableitung der Funktion an der Stelle x0, also der Anstieg der Funktion f an der Stelle x0, schreibt man so, gleich dem Anstieg dieser Tangentenfunktion sein soll. Was ist aber der Anstieg der Tangentenfunktion, also die erste Ableitung? Auch an der Stelle x0. Also die Ableitung ist ja von einer linearen Funktion immer konstant, das ist immer a. Die Ableitung ist ja hier oben a. Das heißt, das a ist schon bestimmt, wenn man also die erste Ableitung der Funktion f an der Stelle x0 auswertet und die Zahl berechnet. Machen wir gleich Beispiele. Das ist die erste Bedingung. Damit haben schon also, dass die Ableitungen übereinstimmen müssen, die Anstiege an dieser Stelle, der beiden Funktionen f und T. Und daraus bestimmt man schon das a und jetzt fehlt noch das b und das ist eine ganz einfache Bedingung, die jetzt noch bleibt. Nämlich einfach die, dass an der Stelle, wo die Tangente den Graphen berührt, naja, da müssen beide eben den gleichen Funktionswert haben. An der Stelle x0. Oder nennen wir den mal xy0, das ist irgendeine Zahl hier und sowohl die Funktion f muss also, was ist y0? Y0 ist ja der Wert der Funktion f an der Stelle x0. Also wir nennen diese Zahl jetzt erst mal ganz allgemein y0. Das ist der Funktionswert also dieser Funktion f und das muss auch gleichzeitig der Funktionswert sein der Tangentenfunktion an dieser Stelle. Die Tangentenfunktion T(x) muss an der Stelle x0 auch diesen Funktionswert haben. Das heißt, wir setzen für x x0. Und dann haben wir also die Bedingung, dass, diese Zahl können wir berechnen, a×x0+b y0 sein soll. A haben wir ja schon bestimmt über die erste Bedingung. Und dann muss man die ganze Formel nur noch nach b umstellen. X0 und yo sind ja bekannt. Warum? Naja, weil die Funktion f bekannt ist. Wir nehmen also an, wir haben das f. Die Funktion f ist bekannt, damit können wir auch die erste Ableitung bestimmen, können also das a berechnen. Haben wir das a gegeben, kennen wir das also schon, y0 kennen wir auch, können wir das Ganze nach b umstellen und wir sind fertig. Nach dem ersten Schritt haben wir schon folgende Information. Da wissen wir schon, das ist unser a, die erste Ableitung ausgewertet der Funktion f an der Stelle x0. Das ist das a. Und was jetzt noch fehlt, ist das b. Aber so weit sind wir schon nach dem ersten Schritt und jetzt schauen wir uns an, wie wir hier auf das b kommen. Wir werten einfach mal diesen noch rechten abstrakten Ausdruck an der Stelle x0 aus. Setzen für x x0. Und dann soll y0 herauskommen, was aber der Funktionswert der Funktion f an der Stelle x0 ist. Und jetzt können wir das Ganze mal, hier haben wir eine schöne Gleichung. Also hier dieser Ausdruck ist gleich dem hier, den wir kennen. Wir können also y0 berechnen, weil wir f ja kennen. Das nehmen wir zumindest an. Und dann stellen wir das Ganze nach b um, indem wir diesen Term hier rüberziehen. Wir müssen uns also das hier jetzt als Gleichung vorstellen. Dieser Term gleich dem. Und jetzt ziehen wir hier diesen Term von dem ab und dann haben wir unser b. Ja, und so wäre das b bestimmt. Wir sehen also, die Informationen haben wir alle hier. Wir kennen ja das f, also kennen wir auch den Funktionswert an der Stelle x0. Die Ableitung kennen wir auch und x0 ist natürlich auch bekannt. Das ist ja quasi Teil der Fragestellung. Also x0 ist bekannt, alles ist bekannt, deswegen ist b bekannt, a ist auch bekannt und wir sind fertig, haben die Tangentenformel gefunden. Die kann man ein bisschen schöner schreiben, aber wir schreiben sie jetzt erst mal so, wie wir sie jetzt erst mal gefunden haben. Das ist das b und das ist das a und wir haben also hier die Tangentenformel gefunden. Schreiben wir das noch mal bisschen anders. Wir können diese beiden Summanden hier zusammenbringen. Die enthalten ja einen gemeinsamen Faktor, den klammern wir aus. Und dann ergibt sich dieser erste Term. Und dann haben wir noch diesen Summanden, den Funktionswert der Funktion f an der Stelle x0. Und das ist jetzt letztlich unsere endgültige Tangentenformel. Also das hier. Wir sehen, das sind also jetzt Konstanten, a und b kann man jetzt nicht mehr so gut in der Formel erkennen. Aber es ist eine recht kompakte Formel. Wir haben also hier x0, ist eine feste Zahl, und x ist die Variable. Und so haben wir dann also unsere Tangentenformel. Machen wir das mal an Beispielen klar. Nehmen wir mal an, die Funktion f(x) wäre x3+2x. Und den Graphen können wir auch zeichnen, wenn wir das wollten, müssen wir aber jetzt erst mal nicht. Die Frage ist jetzt also, sagen wir mal, an der Stelle x=2. Das ist unser x0. Was ist die Formel für die Tangentenfunktion an dieser Stelle? Und dazu nehmen wir uns diese Formel her. Was ist die erste Ableitung der Funktion f? Rechnen wir die schnell mal aus. Das ist 3x2+2. Und mehr brauchen wir eigentlich erst mal nicht. Rechnen wir mal den Wert der ersten Ableitung an der Stelle 2 aus. Das ist dann, wenn wir für x 2 einsetzen, haben wir 22 ist 4, ×3 ist 12, +2 ist 14. Und dann noch gucken wir uns noch den Funktionswert der Funktion f an der Stelle 2 an. Das ist 23, was ist 23? 8, und 2×2 ist 4, 8 und 4 sind 12. Und damit sind wir jetzt fertig. Wir haben also, können wir das gleich hinschreiben. Die Tangentenformel lautet dann also T(x) an der Stelle 2. Die erste Ableitung an der Stelle 2. Was ist das? 14. x-x0. x0 ist 2. Plus Funktionswert an der Stelle 2. Und dann wäre das die Tangentenformel. Das kann man aber noch umschreiben. 14x 14×(-2), was ist das? Das ist -28. -28+12 ist -16. Und dann wäre das also die Tangentenformel. Das soll es auch schon gewesen sein zur Tangentenformel. Bedanke mich fürs Zuhören!                            

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