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Transkript Summenregel für Ereignisse

Hallo! Die allgemeine Summenregel für Ereignisse ist Thema dieses Films. Hier kannst du sie sehen. Ich möchte zwei Sachen noch vorausschicken, bevor ich das hier erkläre. Nämlich geht es ja hier um Ereignisse, da müssen wir uns überlegen "was ist eigentlich ein Ereignis?" Ein Ereignis ist eine Menge von Ergebnissen. Also wir sind ja bei Zufallsversuchen und Zufallsversuche haben Ergebnisse, und wenn wir mehrere Ergebnisse oder kein Ergebnis oder auch ein Ergebnis zu einer Menge zusammenfassen, dann haben wir ein Ereignis. Es sei noch darauf hingewiesen, dass die elementare Summenregel für Ereignisse gilt, nämlich: Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse, die zum Ereignis gehören. Und daraus ergibt sich jetzt diese allgemeine Summenregel, nämlich: Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist gleich der Wahrscheinlichkeit des Ereignisses E1 plus die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses E2 minus der Wahrscheinlichkeit des Ereignisses E1 geschnitten E2. Das alles unter der Voraussetzung dass das Ereignis E gleich der Vereinigung der Ereignisse E1 und E2 ist. Das möchte ich mal an einem kleinen Versuch demonstrieren, warum das so ist, wie es ist. Und dazu möchte ich diesen 100er-Würfel bemühen. Weil der etwas klein ist, zoome ich das Ganze mal ein bisschen ran hier. Das ist unser freundlicher 100er-Würfel. Wenn ich das stillhalte, bleibt er irgendwann auch stehen, und das, was oben liegt, ist nicht egal, sondern 88. In dem Fall liegt hier tatsächlich die 88 oben. So kann man damit würfeln. Er zeigt natürlich immer Zahlen zwischen 1 und 100. Jetzt ist es die 91. Wir könnten nun ein Zufallsexperiment definieren: Ein mal würfeln mit diesem 100er-Würfel. Dann können wir ein Ereignis definieren "Die Zahl, die oben liegt, ist durch 10 teilbar", und wir könnten ein Ereignis definieren "Die Zahl, die oben liegt, ist durch 25 teilbar". E1 soll das Ereignis sein "Die Zahl, die oben liegt, ist durch 10 teilbar". Welche Ergebnisse gehören dazu? Das ist die 10 selber. Das ist die 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90 und die 100. Das ist das eine Ereignis. Da kommt auch eine schöne Linie drum rum, vielleicht kennst du das ja von Mengen, da macht man ja immer so Linien rum. Dann haben wir das Ereignis E2. Das besteht aus den Zahlen, die durch 25 teilbar sind. Das ist die 25, die 50 steht schon da, die 75 und die 100. 4 Zahlen gehören dazu. Und das ist jetzt dieses Ereignis, das mit dem grünen Strich drum herum. Und jetzt steht hier, dass wir ein Vereinigungsereignis bilden können, nämlich E. Das besteht aus E1 vereinigt E2, das wäre in unserem Fall wären das die Zahlen, die durch 10 oder durch 25 teilbar sind. Hier darf ich noch mal erwähnen, dass in der Mathematik dieses "oder" als "nicht ausschließendes Oder" gebraucht wird. In der Umgangssprache haben wir ja häufig das ausschließende "oder", wenn wir sagen "oder" meinen wir entweder das Eine oder das Andere, aber nicht beides gleichzeitig. Hier meint man das Eine oder das Andere, oder beide. Das heißt, wenn wir das Ereignis E1 vereinigt E2 bilden, dann sind das alle die Zahlen, die durch 10 oder durch 25 teilbar sind, oder die durch beide teilbar sind, nämlich 50 und die 100, sind ja durch 10 und 25 teilbar. Wenn wir die Wahrscheinlichkeit dieses Vereinigungsereignisses bestimmen wollen, müssen wir uns erst überlegen: Wie groß sind die Wahrscheinlichkeiten der möglichen Ergebnisse. Ich glaube wir können hier davon ausgehen, dass es sich um eine Laplaceversuch handelt: Jede Zahl hat die gleiche Chance, oben zu liegen bei diesem 100er Würfel, und damit hat jedes Ergebnis die Wahrscheinlichkeit 1/100. Wir können nun die Wahrscheinlichkeit des Vereinigungsereignisses bestimmen, indem wir rechnen die Wahrscheinlichkeiten von E1 berechnen, das sind also diese Wahrscheinlichkeiten hier. Wir haben 10 Zahlen hierdrin, also haben wir 10/100, das ist 1/10, die Wahrscheinlichkeit für E1 ist also 1/10. Plus die Wahrscheinlichkeit von E2, also 4/100, ich bleibe mal am besten bei 100stel, denn das kann man besser rechnen. Wenn ich jetzt rechnen würde 10/100+4/100 hätte ich ja insgesamt 14/100, hier stehen aber nur 12 Zahlen. Also das kann nicht sein. Deshalb muss ich die Wahrscheinlichkeit des Durchschnittes wieder abziehen. Denn gerade eben habe ich die beiden ja, wenn ich sage 10/100+4/100, hab ich jadie beiden hier doppelt gezählt. Wenn ich die dann ein mal wieder abziehe, dann ist die Wiese wieder grün, dann passt das wieder. Also, wenn ich rechne, 10/100+4/100-2/100, ist die Wahrscheinlichkeit des Vereinigungsereignisses und damit sind es 12/100. Hier stehen 12 Zahlen, und ich glaube damit ist das wohl hinreichend erklärt. Das war die allgemeine Summenregel für Ereignisse. Die ist hilfreich, wenn man komplizierte Ereignisse hat, da kann man sich manches vereinfachen und die Wahrscheinlichkeiten leichter ausrechnen. Viel Spaß damit und tschüss!  

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1 Kommentar
  1. Default

    woah jjjjjooop

    Von Sngohung, vor 4 Tagen