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Transkript Strecke vektoriell angeben

Hallo! Es geht um folgendes Problem. Wir haben 2 Punkte gegeben, und sollen die Strecke, die sich zwischen diesen beiden Punkten befindet, also die Strecke, die diese beiden Punkte als Endpunkte hat, vektoriell angeben. Für die Leute von der schnellen Truppe erzähl ich es eben ganz schnell. Wir bilden eine Gerade, die durch diese beiden Punkte führt. Dazu nehmen wir einen dieser Vektoren als Stützvektor. Die Differenz dieser beiden Vektoren als Richtungsvektor, und schränken den Parameter auf das Intervall, auf das abgeschlossene Intervall von 0 bis 1 ein. Ja, das war´s schon. Ich kann das aber noch ausführlicher. Und zwar bilden wir erst mal einen Differenzvektor. Ich hab grade auch gesagt „den Differenzvektor“, genau genommen gibt es ja 2, den Vektor, der von A nach B führt und den Vektor, der von B nach A führt. Was genau der Differenzvektor ist, na ja, ist ja egal. Ich möchte den Vektor haben, der von A nach B führt. Ich hätte auch den anderen nehmen können. Dazu muss ich den Ortsvektor, der zu Punkt B führt, erst mal hinschreiben, und den Ortsvektor, der zum Punkt A führt, von diesem abziehen. Dieser Ortsvektor ist -1, -5 und -2. Und heraus kommt ein Vektor, der Differenzvektor. Das ist immer wieder für Leute überraschend, dass man, um von A nach B zu kommen, rechnen muss, quasi in kurz gesagt, B-A. Ist aber so. Hab ich schon mal was zu gemacht, zeig ich jetzt hier an dieser Stelle nicht noch mal. Dann müssen wir einfach das ausrechnen. 2-(-1)=3, 4-(-5)=8, und 5-(-2)=7. 3, 8, 7 ist also unser neuer Richtungsvektor der Geraden, die dann gleich hier entstehen wird. Die Gerade soll g heißen. Sie besteht aus allen Vektoren x, die die Form haben, Summe aus Stützvektor+Zahl×Richtungsvektor. Stützvektor, da kann ich einen dieser Punkte einfach verwenden. Ich nehme mal A. Dann ist -1, -5 und -2 unser neuer Stützvektor. Dann plus Zahl, das soll wieder r sein. Also r steht für irgendeine beliebige Zahl. Und danach folgt der Richtungsvektor 3, 8, 7. Und das ist jetzt eine Gerade. Eine Gerade, die durch diese beiden Punkte führt. Aber wir wollten ja keine Gerade haben, sondern eine Strecke. Und das erreicht man, indem man nämlich einschränkt, welche Zahlen man für r einsetzen kann. Wenn man nämlich nur Zahlen zwischen 0 und 1 einsetzt, dann bleiben die Punkte, die man dadurch erreichen kann, immer zwischen diesen beiden gegebenen Punkten hängen, sag ich mal. Das sind alle Punkte, die sich da zwischen diesen beiden Punkten befinden. Die kann man hiermit erreichen. So, das ist eine Teilmenge der reellen Zahlen. Das braucht man nicht unbedingt hinschreiben. Aber wichtig ist hier dass r zwischen 0 und 1 liegt. Damit ist diese Rechnung erst mal abgeschlossen, und ich möchte das eben auch noch grafisch zeigen. Wir können folgendes hier machen. Wir nehmen irgendeinen Punkt, irgendwo. Hier ist einer, das hat jetzt vermutlich nichts mehr mit den Vektoren zu tun, die ich gerade eben hier gezeigt habe. Aber ich möchte einfach zeigen, es können irgendwelche Punkte sein, bzw. das sind jetzt hier die Ortsvektoren, die zu diesen Punkten hinführen. Und wenn wir diese beiden jetzt, na wo hab ich denn nen schönen, passt fast. Wenn wir jetzt rechnen Gelb-Orange, dann bekommen wir den Vektor, der von Orange zu Gelb führt. Der Vektor führt von hier nach da. Und wenn wir diesen Punkt jetzt, den orangenen Punkt, als Stützvektor auffassen, dann können wir hier diesen Differenzvektor als Richtungsvektor auffassen und wir bekommen eine Gerade, die jetzt also hier entlang verläuft. Wenn wir den Parameter r auf das Intervall von 0 bis 1 einschränken, dann passiert folgendes, wenn wir 0 einsetzen: Dann ist dieser Richtungsvektor quasi weg. Dann kommen wir zu dem Punkt Orange. Wenn wir 1 einsetzen, dann rechnen wir ja einfach Stützvektor+1×Richtungsvektor, dann kommen wir zu dem Punkt. Und wenn wir Zahlen einsetzen, die zwischen 0 und 1 liegen, dann bekommen wir Punkte, die hier liegen. Also, wenn ich zum Beispiel rechne: Stützvektor+0,1×Richtungsvektor, dann bin ich ungefähr hier, 0,2×Richtungsvektor ungefähr da, Stützvektor+0,3×Richtungsvektor ist ungefähr hier, und so weiter. Und wenn ich hierhin will, dann muss ich Zahlen einsetzen, die größer als 1 sind, und wenn ich hierhin will, dann muss ich Zahlen einsetzen, die kleiner als 0 sind. Und so beschreibt man eben vektoriell Strecken. Ich hoffe, es war anschaulich genug. Viel Spaß damit. Tschüss!

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2 Kommentare
  1. Felix

    @A Heitkemper: Danke für den Hinweis. Da hast du vollkommen Recht: Der Richtungsvektor hat natürlich die Komponenten 3, 9 und 7.

    Von Martin B., vor etwa einem Jahr
  2. Default

    müsste der Richtungsvektor nicht ( 3, 9 und 7 ) sein?

    Von A Heitkemper, vor etwa einem Jahr