Strahlensätze 06:26 min

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Transkript Strahlensätze

Hallo liebe Freundinnen und Freunde der Mathematik. Herzlich willkommen zum Video Strahlensätze. In Technik und Bau findet man Abbildungen wie diese, doch die Darstellung ist nicht ganz beliebig. Durch die roten Pfeile werden 2 Strahlen gekennzeichnet, die ihren Ursprung dort haben, wo der grüne Pfeil hinweist. Die beiden Strahlen werden durch ein Parallelenpaar geschnitten, das durch die roten Pfeile gekennzeichnet wird. Nun wollen wir die Strahlenabschnitte kennzeichnen. Der Abschnitt s1 beginnt beim gemeinsamen Startpunkt der beiden Strahlen und endet beim Schnittpunkt des einen Strahls mit der 1. der beiden parallelen Geraden. Der Abschnitt S1 startet ebenfalls beim Ursprung der beiden Strahlen und endet beim Schnittpunkt des einen Strahls mit der 2. parallelen Geraden. Entsprechend ist s2 der Abstand zwischen dem Ursprung der beiden Strahlen und dem Schnittpunkt des 2. Strahls mit der 1. der parallelen Geraden. S2 ist der Abstand vom Ursprung der beiden Strahlen bis zum Schnittpunkt des 2. Strahls mit der 2. der parallelen Geraden. Nun beginnt der interessante Teil. Wir vermessen s1 und erhalten 25 cm. Wir vermessen s2 und wir erhalten 19 cm. Genauso messen wir S1 und S2 ab, und wir erhalten 50 cm und 38 cm. Interessant sind hier nicht die absoluten Mengen, sondern deren Verhältnisse. 50 cm/25 cm ergibt genau 2, und ebenso ergibt 38 cm/19 cm genau =2. Diese Ergebnisse kann man verallgemeinern. Es gilt nämlich: S1 verhält sich zu s1 wie S2 zu s2, und damit haben wir bereits den 1. Strahlensatz formuliert. Der 1. Strahlensatz lautet: Werden Strahlen mit einem gemeinsamen Ausgangspunkt von parallelen Geraden geschnitten, so ist der Quotient von gleichen Strahlenabschnitten auf verschiedenen Strahlen immer konstant. Anstelle eines exakten Beweises möchte ich eine plausible Begründung anführen. Wir können uns vorstellen, dass die abgebildete Figur aus 2 Dreiecken besteht, einem kleinen Dreieck, das durch die gelben Punkte gekennzeichnet wird, und einem großen Dreieck, das durch die blauen Eckpunkte begrent wird. Es ist offensichtlich, dass das kleine und das große Dreieck einen gleichen Winkel besitzen. Darüber hinaus besitzen beide Dreiecke einen 2. gleichen Winkel. Das folgt daraus, dass man es hier mit Stufenwinkeln zu tun hat. Auch der 3. Winkel ist gleich. Das folgt wieder aus dem Satz über Stufenwinkel. Da alle 3 Innenwinkel des kleinen und des großen Dreiecks gleich sind, sind beide Dreiecke ähnlich. Entsprechende Seiten stehen daher stets im gleichen Verhältnis. Von S1 und s1 beträgt das Verhältnis 2 und von S2 und s2 beträgt das Verhältnis ebenfalls 2. Für die weiteren Überlegungen wollen wir Umbenennungen durchführen. Den 25 cm langen Strahlenabschnitt wollen wir mit s bezeichnen, den 50 cm langen Strahlenabschnitt mit S. Der kleinere der beiden Geradenabschnitte soll p heißen, der größere der beiden Geradenabschnitte wird mit P bezeichnet. Wir messen wieder. p beträgt 16,5 cm, für P messen wir 33 cm.  Wir bilden nun 2 Verhältnisse. 25 cm/16,5 cm?1,52 und 50 cm/33 cm?1,52. Damit haben wir schon die gesuchte Gesetzmäßigkeit. s/p=S/P. Das ist bereits der 2. Strahlensatz. Der 2. Strahlensatz lautet: Wenn Strahlen mit gemeinsamem Ausgangspunkt von parallelen Geraden geschnitten werden, dann ist das Verhältnis aus Strahlenabschnitten und entsprechenden Geradenabschnitten immer konstant. Im Übrigen kann man hier auch mit der Ähnlichkeit argumentieren, denn S ist 2× länger als s, und P ist 2× länger als p. Also immer schön nach Strahlen, parallelen Geraden und ähnlichen Dreiecken schauen. Das wäre es schon wieder für heute. Alles Gute und viel Erfolg, tschüss!

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10 Kommentare
  1. Default

    Danke. Besser als meine Lehrer in der schule:-)

    Von Jan Erik P., vor etwa 2 Monaten
  2. 001

    Sehr schön, ich habe beim Dreh sehr geschwitzt. Das hat sich dann wohl gelohnt ...
    Alles Gute

    Von André Otto, vor fast 2 Jahren
  3. Bl%c3%bcmchen tumblr

    Danke hat mir sehr geholfen

    Von Ni.Ma .., vor fast 2 Jahren
  4. Default

    Centimeda:D

    Von Sophia Baehner, vor fast 2 Jahren
  5. Default

    Dankeschön für dieses tolle Video ! Es hat mir wirklich sehr geholfen!

    Von Mailone, vor etwa 2 Jahren
  1. 001

    Ich bitte darum, alle Fragen bezüglich vorhandener Videos DIREKT an sofatutor zu richten.

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    Alles Gute

    Von André Otto, vor mehr als 2 Jahren
  2. Default

    Hallo, ich finde das video auch hilfreich hab aber trotzdem eine frage: gibt es auch ein video wo man eine strecke bestimmen muss?
    Danke schonmal im voraus

    Von Sandrien , vor mehr als 2 Jahren
  3. Default

    danke.

    Von Jakob 3, vor etwa 3 Jahren
  4. Default

    Super erklärt, danke :)

    Von Christine 4, vor etwa 3 Jahren
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    Ausgezeichnet! Klar, deutlich, richtiges Sprechtempo. So kann man lernen. Danke.

    Von Libro E Musica, vor fast 4 Jahren
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