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Transkript Stochastische Unabhängigkeit zweier Ereignisse

Hallo! In diesem Video geht es um die stochastische Unabhängigkeit zweier Ereignisse. Die Ereignisse A und B heißen unabhängig, wenn die Wahrscheinlichkeit, dass beide Ereignisse gleichzeitig eintreten gleich dem Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten ist. Diese Gleichung wird manchmal auch Produktregel genannt. Zwei Ereignisse, für die, die Produktregel nicht gilt, heißen stochastisch abhängig. Wir betrachten ein Beispiel: In einer Urne befinden sich 2 weiße und 2 schwarze Kugeln. Wir ziehen nacheinander zwei Kugeln, einmal mit Zurücklegen und einmal ohne Zurücklegen. Und wir betrachten zwei Ereignisse. Ereignis A: 1. Kugel ist weiß. Und Ereignis B: 2. Kugel ist weiß. Und wir stellen uns die Frage: Sind diese beiden Ereignisse unabhängig? Zuerst betrachten wir den Fall, bei dem die 1. Kugel zurückgelegt wird. Wir konstruieren das Baumdiagramm und ermitteln folgende Werte: Die Wahrscheinlichkeiten der beiden Ereignisse sind gleich 1/2. Und die Wahrscheinlichkeit, dass beide Ereignisse gleichzeitig eintreten - das entspricht dem oberen Pfad im Baumdiagramm - ist gleich 1/4. Damit ist gezeigt, dass die Wahrscheinlichkeit von A und B gleich der Wahrscheinlichkeit von A mal Wahrscheinlichkeit von B ist. Das heißt, die Ereignisse A und B sind unabhängig. Nun betrachten wir den Fall, bei dem die Kugel nicht zurück in die Urne gelegt wird. Auch hier konstruieren wir das Baumdiagramm. Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A ist 1/2. Dem Ereignis B entsprechen zwei Pfade im Baumdiagramm und die Wahrscheinlichkeit lässt sich demnach als (1/2)×(1/3)+(1/2)×(2/3) berechnen und das ist genau 1/2. Die Wahrscheinlichkeit, dass die beiden Ereignisse gleichzeitig eintreten - das ist wiederum der obere Pfad im Baumdiagramm - ist gleich 1/6. Nun kann man leicht sehen, dass die Wahrscheinlichkeit von A und B nicht gleich der Wahrscheinlichkeit von A mal Wahrscheinlichkeit von B ist. Das heißt, in diesem Fall sind die Ereignisse A und B voneinander abhängig. Die Unabhängigkeit von Ereignissen wird oft mit deren Unvereinbarkeit verwechselt. Dies sind aber absolut verschiedene Sachen. Für zwei unvereinbare Ereignisse A und B gilt: Wahrscheinlichkeit von A und B ist gleich 0. Falls aber die Wahrscheinlichkeiten dieser Ereignisse ungleich 0 sind, so ist auch deren Produkt ungleich 0. Hier kann man deutlich sehen, dass zwei unvereinbare Ereignisse nicht unbedingt unabhängig sind. Der Begriff der stochastischen Unabhängigkeit kann auch für mehr als zwei Ereignisse definiert werden. Die Ereignisse A1, A2 und so weiter bis An heißen unabhängig, wenn die Wahrscheinlichkeit, dass sie alle gleichzeitig eintreten gleich dem Produkt ihrer Einzelwahrscheinlichkeiten ist. So viel zu der stochastischen Unabhängigkeit. Danke für Ihr Interesse und weiterhin viel Spaß mit Mathematik!  

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3 Kommentare
  1. Default

    Danke, habs endlich verstanden. :D

    Von Crestone95, vor mehr als 2 Jahren
  2. Default

    Kurz und knackig erklärt :-) So mag ich das!

    Von Deleted User 12777, vor mehr als 6 Jahren
  3. Default

    sehr gutes Video , alles verstanden :)

    Von Deleted User 11898, vor mehr als 6 Jahren