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Transkript Stochastische Unabhängigkeit und Vierfeldertafel

Hallo! Wir machen die ersten Übungsaufgaben zu einer Vierfeldertafel. 2 kleine und etwas schwierigere Aufgaben habe ich hier vorbereitet. Das ist eine Vierfeldertafel mit Wahrscheinlichkeiten. Es gibt ja auch welche mit absoluten Zahlen, aber hier haben wir halt Wahrscheinlichkeiten gegeben. Und hier sind die Fragen zu dieser Vierfeldertafel. Sind A und B unabhängig? Also diese beiden Ereignisse A und B. Um die geht es. Sind A und nicht-B unabhängig? Und dann kommt noch die Frage: Wenn A unabhängig von B ist, ist dann auch A unabhängig von nicht-B? Fangen wir mal vorne an. Bei den ersten beiden Fragen darf ich mich kurz fassen, falls mir das gelingt. Es ist ja nicht immer so. Wir müssen uns einfach überlegen, um die ersten beiden Fragen zu lösen, was stehen denn hier überhaupt für Wahrscheinlichkeiten drin, was bedeuten diese Wahrscheinlichkeiten? Und das ist hier so eine allgemeine Vierfeldertafel. Und dann, wenn wir die 1. Frage beantworten wollen, sind A und B unabhängig, da können wir einfach uns überlegen, was passiert denn, wenn zum Beispiel A unabhängig von B ist? Was müsste dann gelten? Dann müsste also gelten, dass die Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B genauso groß ist wie die Wahrscheinlichkeit von A. Und hier habe ich eine Lücke gelassen, warum, weil man hier hinschreiben kann, wie man die Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B berechnet. Und das macht man, indem man die Wahrscheinlichkeit von A geschnitten B (A∩B) teilt durch die Wahrscheinlichkeit von B. Wenn die Beiden also gleich sind, dann ist A unabhängig von B und wir wissen auch, wenn A unabhängig von B ist, dann ist auch B unabhängig von A. Deshalb kann man sagen, wenn das gilt, sind A und B unabhängig. Und da muss ich einfach nur kucken, was steht in der Tafel und was muss ich hier rechnen. Wahrscheinlichkeit von A∩B steht in diesem Feld, das ist 0,1. Die Wahrscheinlichkeit von B steht in diesem Feld hier, das ist 0,15. Und das ist 10/15 und da kann man mit 5 kürzen, das ist 2/3. Die Wahrscheinlichkeit von A steht in diesem Feld, da steht 0,6, und wir wissen, 2/3 ist ja 0,666... . Und da sehen wir, das stimmt nicht. 0,666... ist nicht 0,6. Damit ist die 1. Frage durch. Ich komme gleich zur 2. Frage. Ist A unabhängig von nicht-B? Wenn das so wäre, müsste also gelten, dass die Wahrscheinlichkeit von A∩nicht-B geteilt durch die Wahrscheinlichkeit von nicht-B gleich der Wahrscheinlichkeit von A ist, und bei uns entspricht das folgender Rechnung hier. Wir haben hier die Wahrscheinlichkeit von A∩nicht-B und das steht da, das ist 0,5. Das müssen wir teilen durch die Wahrscheinlichkeit von nicht-B, die steht also da. 0,85. Und auch da kann man wieder mit 5 kürzen, ist ja 50/85, und wenn man mit 5 kürzt, haben wir hier 10/17. Und die Wahrscheinlichkeit von A ist 0,15, und 0,15=15/10 und nicht 10/17, und da sehe ich gleich, ohne das auszurechnen, das kann nicht gleich sein. Und damit sind die ersten beiden Fragen beantwortet. Kommen wir gleich zur letzten Frage. Wenn A unabhängig von B ist, ist dann auch A unabhängig von nicht-B? Das ist die Frage. Und da muss man einfach ein bisschen was umformen. Ich habe eine Umformung gemacht, von der ich nicht genau weiß, ob es nicht vielleicht doch ein bisschen schneller geht, als ich das hier gemacht habe, aber mir reicht das so. Du kannst gerne kucken, ob du das noch mit weniger Zeilen hinkriegst als ich, wenn du Spaß daran hast. Also, ich habe mir Folgendes gedacht. Wir nehmen einfach die Wahrscheinlichkeit von A∩B und die Wahrscheinlichkeit von A∩nicht-B. Das beides zusammen ist ja die Wahrscheinlichkeit von A. Wenn jetzt A unabhängig von B ist, dann wissen wir, dass wir P(A∩B) ersetzen können durch, das hatten wir hier mal auf einer Tafel, A unabhängig von B führt dazu, dass das hier unten gilt. Dass also die Wahrscheinlichkeit von A∩B gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten von A und B ist. Und das ersetze ich jetzt einfach mal. Das heißt, wir haben P(A)×P(B)+P(A∩nicht-B)=P(A). Dann können wir teilen durch P(A) und haben dann hier P(B)+P(A∩nicht-B)/P(A)=1. Und wir sehen hier, das ist die Wahrscheinlichkeit von nicht-B unter der Bedingung A, und dann können wir noch -P(B) rechnen und haben dann folgende Situation: Das ist ja die Wahrscheinlichkeit von nicht-B unter der Bedingung A, und wenn wir 1-P(B) rechnen, dann ist das ja gleich P(nicht-B), und das heißt jetzt, die Wahrscheinlichkeit von nicht-B unter der Bedingung A ist gleich der Wahrscheinlichkeit von nicht-B. Und das heißt nun wiederum, dass nicht-B unabhängig von A ist und wenn nicht-B unabhängig von A ist, dann ist natürlich auch A unabhängig von nicht-B. Und das sollten wir hier zeigen, und deshalb können wir sagen, dass das stimmt. Diese Umformung, wie gesagt, gehört nicht so zum Standardrepertoire von dem, was du können musst, für Klausuren. Aber es ist gut, das Mal gesehen zu haben. Viel Spaß damit, tschüss!

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1 Kommentar
  1. Default

    SUPER!

    Von C913834, vor etwa 3 Jahren