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Transkript Stochastik und Diagramme – Baumdiagramme

Hallo, wir sind beim letzten Themenfeld bei der Abschlussprüfung "Realschule, Klasse 10 im Bundesland Hessen". Das letzte Thema heißt hier "Wahrscheinlichkeitsrechnung und Kombinatorik" und die Aufgabe geht so: Sofia H. aus M. ist mit einem kleinen Koffer im Urlaub. Darin befinden sich unter anderem 3 Oberteile - schwarz, weiß, rot - 2 Hosen - lang, kurz - und 3 Paar Schuhe - flach, mittel, hoch. Fülle die Leerstellen des Baumdiagramms passend aus, also dieses leer stehende Baumdiagramm ist gegeben und da sollen jetzt die Leerstellen ausgefüllt werden, und schreibe die Wahrscheinlichkeiten an die einzelnen Äste, die sich ergeben, wenn Sofia wahllos eines der Oberteile, eine der Hosen und eines der Schuhpaare ergreift. Gut, wie können wir uns die Sache vorstellen? Die Sofia greift in ihren Koffer und nimmt wahllos eines der Oberteile heraus. Das heißt, am Anfang muss hier eines der 3 Oberteile stehen - schwarz, weiß, rot. Dann nimmt sie eine der Hosen. Sie hat 2 dabei, dann müssten das die sein hier - lang und kurz, also l und k schreibe ich einmal da rein - auch erledigt. Und dann nimmt sie ein Schuhpaar aus dem Koffer, ebenfalls wahllos. Das heißt, wir haben jetzt hier hoch, mittel und flach - h, m, f. Das heißt, wir haben hier ein dreistufiges Zufallsexperiment: Dreimal ziehen, jeweils wird ein anderes Kleidungsstück gezogen. Jetzt müssen noch die Wahrscheinlichkeiten an die einzelnen Äste geschrieben werden. Die Wahrscheinlichkeit, das Schwarze zu erhalten, ist 1/3. Wir gehen davon aus, da sie wahllos hereingreift, hat jedes Teil die gleiche Chance gezogen zu werden. Damit ist das hier in der ersten Stufe also ein Laplace-Experiment. Das heißt, alle Ergebnisse - schwarz, weiß und rot - sind gleich wahrscheinlich. Daraus ergibt sich, dass jedes Teil die Wahrscheinlichkeit 1/3 hat, gezogen zu werden. Bei den Hosen ist es ein bisschen anders. Sie hat nur 2 Hosen im Koffer, das heißt, hier kommt also ½ dran als Wahrscheinlichkeit und da auch 1/2. Wenn dir das zu klein ist, kannst du den ganzen Text auf meiner Homepage, Mathematikwerkstatt, noch einmal in schön sehen. Dann haben wir noch jeweils 3 Möglichkeiten für das Schuhpaar. Ich gehe davon aus, dass es sich wieder um ein Laplace-Experiment handelt. Das heißt, alle 3 Schuhpaare haben die gleiche Chance gezogen zu werden. Die Gesamtwahrscheinlichkeit im Laplace-Experiment muss 1 sein. Das heißt, die Wahrscheinlichkeiten verteilen sich hier gleichmäßig auf die 3 Ergebnisse. Deshalb hat jedes die Wahrscheinlichkeit 1/3, das muss man hier und da überall ranschreiben. Schreibe ich jetzt nicht ran, hier am Ende vielleicht noch einmal. Ich mache mir das hier ein bisschen einfach, das darfst du in der Prüfung dann nicht machen, du musst es ranschreiben. Dann ist das auch schon durch hier - erste Aufgabe. Zweite Aufgabe lautet: Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat sie das schwarze Top, die lange Hose und die hohen Schuhe an, wenn sie das, was sie anzieht, mit der in Aufgabe 1 - also in der, die wir gerade gemacht haben - beschriebenen Methode bestimmt? Also, sie soll anhaben: schwarzes Top, lange Hose, hohe Schuhe. Und sie kommt dazu, indem sie also wahllos diese Sachen ergreift. Was muss man da rechnen? Die Wahrscheinlichkeit, das schwarze Top zu erhalten, ist 1/3. Die Wahrscheinlichkeit, die lange Hose zu bekommen, ist ½. Also ×½. Warum ×? Weil die Pfadmultiplikationsregel gilt. Um die Wahrscheinlichkeit entlang eines Pfades auszurechnen, muss man die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Äste multiplizieren. Das mache ich jetzt hier. Dann ist noch gefragt nach den hohen Schuhen. Also hier h. Die Wahrscheinlichkeit ist 1/3. Das muss man dann ausrechnen. Es kommt 1/18 heraus. 3×2×3=18. Das ist dann auch schon erledigt. Das ist oft so, dass jetzt in der Wahrscheinlichkeitsrechnung nicht viel aufzuschreiben ist, ebenso wie bei den Wachstumsaufgaben. Da muss man einfach nur wissen, wie es geht. Wenn man das weiß, hat man kein Problem. Wenn man das nicht weiß, dann wird es sehr schwierig - ist immer so bei Wahrscheinlichkeitsaufgaben. Dann geht es weiter mit: Wie wahrscheinlich ist es, dass sie die flachen Schuhe oder das rote Oberteil anhat? Das bedeutet: Es gibt ja mehrere Pfade, die mit den flachen Schuhen enden. Das heißt, es ist dieser Pfad hier, es ist dieser usw. Die müsste ich jetzt alle ankreuzen. Es gibt auch Pfade, in denen das rote Oberteil vorkommt und das ist hier. Das sind also die ganzen Pfade hier. Hier kommt ja das rote Oberteil vor und da und da und da. Das ist alles das rote Oberteil und hier sind die flachen Schuhe und da auch noch einmal. Wenn jetzt nach dem Ereignis gefragt ist "flache Schuhe oder rotes Oberteil", dann müssen wir einfach die Wahrscheinlichkeiten dieser Pfade alle addieren nach der Pfadadditionsregel. Zunächst einmal natürlich die Wahrscheinlichkeit eines Pfades errechnen, indem wir entsprechend multiplizieren. Das heißt, um hier nach unten zu kommen, muss ich 1/3×½×1/3 rechnen. Und um die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses zu bestimmen, muss ich jetzt die Wahrscheinlichkeiten dieser einzelnen Pfade addieren. Hier sind 1, 2, 3, 4 Pfade, die mit den flachen Schuhen enden. Das heißt, ich muss hier jetzt ×4 rechnen. Und die habe ich jetzt außen vor gelassen, warum? Weil ich mir das etwas einfacher machen kann. Ich weiß ja, dass hier schon das rote Oberteil vorkommt. Deshalb gehören alle Pfade, die sich hier anschließen, zu dem Ereignis. Deshalb haben alle Pfade hier zusammen die Wahrscheinlichkeit 1/3. Wenn man es weiß, hat man wenig zu tun - hatte ich ja schon einmal angedeutet. Heraus kommen 5/9, habe ich natürlich auch schon vorbereitet, habe ich jetzt nicht im Kopf gerechnet. 5/9 ist die Wahrscheinlichkeit für flache Schuhe oder rotes Oberteil. Die letzte Aufgabe zeige ich auch noch eben: Zu Hause hat Sofia H. aus M. noch viel mehr Kleidungsstücke, denn sie hat von allen 3 Sorten, jeweils nur 1/10 in ihrem Koffer. Hinzukommen noch 20 Schmuckteile. Wie viele mögliche Kombinationen ergeben sich, wenn sie ein Schmuckteil, ein Oberteil, eine Hose und ein Paar Schuhe anziehen möchte? Zweite Frage ist: Wie viele Stunden braucht sie, bis sie sich entscheiden kann, wenn sie jede Kombination nur 10 Sekunden lang durchdenkt? Das möchte ich auch eben hier in einem Rutsch behandeln. Wir wissen, sie hat 1/10 ihrer Oberteile mit. Sie hat 3 Oberteile dabei, das heißt, insgesamt hat sie also 30 Oberteile. Dann hat sie auch 1/10 ihrer Hosen mit. Das heißt, sie hat 20 Hosen in ihrem Schrank. Sie kann alles mit allem kombinieren, rein theoretisch zumindest, das heißt, sie hat 30×20 Möglichkeiten, die Oberteile und die Hosen zu kombinieren. Hinzukommen 30 Paar Schuhe. Also muss ich wieder multiplizieren. Bei der pro Kombination hier 30 weitere, neue Kombinationen entstehen. Und die 20 Schmuckteile kommen auch noch dazu. Also haben wir hier alle möglichen Kombinationen. Das kann man jetzt ausrechnen mit: 30×20×30×20. Das rechne ich jetzt nicht aus, sollte kein Problem sein, das in den Taschenrechner einzutippen. Ich möchte gleich die zweite Frage beantworten, und zwar: Wie viele Stunden braucht sie, bis sie sich entscheiden kann, wenn sie jede Möglichkeit nur 10 Sekunden lang durchdenkt? Das heißt, ich muss hier noch rechnen ×10 Sekunden - sek, eigentlich s abgekürzt. Und was kommt da heraus? Man muss es noch ein bisschen umrechnen, die Sekunden natürlich in Stunden umrechnen. Das heißt, das ganze Ergebnis durch 3600 teilen. Es kommen genau 1000 Stunden heraus, Stunde hat das Symbol h. 1000 Stunden bräuchte sie, wenn sie tatsächlich jede Möglichkeit 10 Sekunden lang durchdenken möchte. Damit sind wir hier fertig, alle Aufgaben gelöst. Ich hoffe, du hast alles verstanden und ich habe es vernünftig erklärt. Viel Spaß damit, tschüss.

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3 Kommentare
  1. Default

    echt super erklärt. Sofort verstanden :)))) Danke !!!

    Von Beivero, vor mehr als einem Jahr
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    Und da wundert man sich warum Mädchen immer zu spät kommen :D

    Von Pascalhauff, vor mehr als einem Jahr
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    super erklärt! finde alle deine Videos echt gut die wirken so als wäre man wirklich da

    Von Emily Hattenkofer, vor fast 2 Jahren