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Transkript Steigung einer Funktion in einem Punkt

In diesem Video möchte ich erzählen, wie man die Steigung des Graphen einer Funktion in einem Punkt berechnet. Was ein Differenzen- und was ein Differenzialquotient ist und was die Ableitung einer Funktion ist. Wir fahren wieder mal mit dem Auto, am Steuer sitzt Papa und der ist sauer. Der ist so sauer, das er immer weiter beschleunigt. Und zwar so, dass die Strecke, die wir schon zurückgelegt haben, immer 1/4 vom Quadrat der Minuten ist, die wir schon fahren. Also wir werden immer schneller. Die Zeit-Weg-Kurve unserer Bewegung sieht also so aus: f(x)=1/4², x ist die Zeit und f(x) ist die Strecke. Nach 1 Minute haben wir also zum Beispiel 1/4 km zurückgelegt. Das heißt, dass wir während der 1. Minute durchschnittlich 1/4 km pro Minute gefahren sind. Das ist aber die Geschwindigkeit, die genau nach 1 Minute auf dem Tacho angezeigt wird. Also die momentane Geschwindigkeit. Die Geschwindigkeit ist eine Änderungsrate, das heißt, am Graphen kann man die deutlich machen durch die Steigung der Tangente in dem Punkt. Wir wollen also wissen, wie stark die Steigung des Graphen bei x=1 ist. Und um uns an dieses Problem heranzutasten, könnten wir erst mal die Steigung einer Sekante bestimmen, zum Beispiel von dieser. Die schneidet den Graphen bei x=1 und bei x=3. Um die Steigung dieser Sekante auszurechnen, stellen wir ein Steigungsdreieck auf. Die y-Werte sind: f(3)=9/4 und f(1)=1/4. Der Abstand der x-Werte ist 2 und für die Steigung teilen wir die Differenz der Funktionswerte durch die Differenz der x-Werte. Wenn man das berechnet, kommt als Steigung 1 raus. Wir könnten aber zum Beispiel auch diese Sekante nehmen. Da sind wir doch eigentlich schon viel näher an der Steigung der Tangente dran. Da berechnen wir wieder das Steigungsdreieck, so wie eben, nur möchte ich dieses Mal allgemeinere Bezeichnungen benutzen. Nämlich x0 für die Stelle 1 und h für den Abstand zur 2. Stelle. Und den Quotienten insgesamt nennen wir dann Differenzenquotient. Der senkrechte Abstand ist der Funktionswert an der Stelle x0+h minus dem Funktionswert an der Stelle x0. Der waagerechte Abstand ist x0+h-x0, also eigentlich genau h eigentlich. Jetzt setzen wir mal die Funktion ein und das x0, also 1. Das h lassen wir allgemein. Wir wollen uns also noch nicht genau festlegen, welchen Abstand die beiden Stellen voneinander haben sollen. Nach 1 Minute haben wir also zum Beispiel 1/4 km zurückgelegt. Das Ergebnis ist also 1/2+1/4×h. Das ist unsere Formel für den Differenzenquotienten. Und wenn wir jetzt den Abstand h immer kleiner werden lassen, also das h gegen 0 laufen lassen, dann wird aus der Sekante bei h=0, genau die Tangente. Und aus dem Differenzenquotient wird dann der Differenzialquotient. Bei uns wäre das also, wenn wir h gegen 0 laufen lassen, 1/2. Und das ist dann die momentane Steigung der Kurve bei x=1, bzw. die momentane Geschwindigkeit des Autos. Also 1/2 km pro Minute. Jetzt möchte ich die Begriffe noch mal zusammenfassen: d(h)=(f(x0+h)-f(x0))/h heißt Differenzenquotient von f an der Stelle x0. Wenn das die Kurve ist, das x0 und das h, ist das also die Steigung des Steigungsdreiecks. Der Limes des Differenzenquotienten für h gegen 0, heißt Differenzialquotient von f an der Stelle x0. Das ist die Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion an der Stelle x0. Und das nennt man dann auch 1. Ableitung von f an der Stelle x0. Man schreibt das als f'(x0). So, und um noch mal klarzumachen, wie man so etwas ausrechnet, bestimmen wir jetzt die 1. Ableitung der Funktion f(x)=x² an der Stelle x0=3. Wir schreiben erst mal den Differenzenqoutienten auf, und setzen dann die Funktion und x0 ein. Dann lösen wir die Klammer auf, die 9 fällt weg und die Brüche kürzen sich zum Term 6+h. Um die 1. Ableitung, also den Differenzialquotienten auszurechnen, müssen wir jetzt noch h gegen 0 laufen lassen. Das ergibt dann 6. Jetzt wollen wir noch einen Schritt weiter gehen, und sogar die Stelle x0 allgemein lassen, sodass wir also für die Funktion f(x)=x² nicht für jede Stelle einzeln die Ableitung ausrechnen müssen, sondern für die ganze Funktion eine Formel haben. Anstatt der 3 setzen wir also x0 ein. Binomische Formel angewendet, x0² fällt weg und der Rest kürzt sich zu 2x0+h, sodass der Differenzialquotient 2x0 ist. Die Funktion f(x)=x² hat also an der Stelle x0 immer die Ableitung 2×x0. Und das kann man dann auch wieder als Funktion interpretieren. Die Ableitung ist eine Funktion, die also jedem x die Steigung von f in x zuordnet. So, ich hoffe, das war irgendwie hilfreich zum Verständnis, denn Ableitungen sind wirklich ein sehr, sehr wichtiges Thema in Mathematik.

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21 Kommentare
  1. Default

    Ich bin in der 3 Klasse nur das ist echt COOL .Nur das Tempo war zu schnell

    Von Fangirl.357, vor 11 Monaten
  2. Img 0339

    red langsamer brudi sonst vollen support an dich !

    Von Marco L., vor fast 2 Jahren
  3. Default

    In Rekordzeit super erklärt

    Von Kreiters, vor etwa 2 Jahren
  4. Default

    Das video könnte halb so schnell sein...

    Von Susanne Honnef, vor etwa 2 Jahren
  5. Default

    Ich musste es mir auch ca 5 mal ansehen bis ich es verstanden habe, aber es ist dennoch hilfreich wenn man ein gewisses Grundwissen über das Thema hat.

    Von Ykessler96, vor mehr als 2 Jahren
  1. Ich 2012 quadr 80kb

    Super geil! ich kann´s nur wiederholen, deine Videos sind spitze - obwohl ich das gar nicht lernen sollte (bin zufällig drauf gestoßen), weiß ich jetzt endlich, wie es eigentlich zu der Ableitungsanwendung gekommen ist. Hat mir nie jemand beigebracht und das fand ich auch schon in der Schule sch...

    Nach dem Motto, LK: "Mach die Ableitung so", ich: "Warum?" LK: "Egal, ist richtig"

    Also, danke für die Erleuchtung :D

    Und behalte ja das Tempo bei, bitte! (Wem´s zu schnell geht: Pause drücken ;) )

    Von Werbung, vor mehr als 3 Jahren
  2. Bild004

    sehr schnell...aber wirklich tolles Video!

    Von Schaefchenwolke888, vor mehr als 3 Jahren
  3. Bewerbungsfoto

    Hallo Elisabeth 1,

    du setzt den Differentialquotienten wie im Video an:
    [f(x0 + h) - f(x0)]/h. Das x0 ist in der Aufgabe 1, d.h. du setzt an beiden Stellen für x0 die 1 ein. Das sieht dann so aus:
    [f(1 + h) - f(1)]/h. Jetzt setzt du für f den Funktionsterm ein, also x²+x. Das ergibt dann [(1+h)²+(1+h)-[1²+1]]/h. Versuche es ab hier nochmal selber...

    Von Steve Taube, vor mehr als 3 Jahren
  4. Default

    Entschuldigung, ich meinte 3, nicht 2. Also bei der Testaufgabe ist die Lösung 3. Ich weiß nicht, was man für das zweite x einsetzen muss. Danke!!

    Von Elisabeth 1, vor mehr als 3 Jahren
  5. Default

    Ich verstehe nicht, warum beim Test 2 herauskommt. Was muss man für das zweite x einsetzen?
    Danke für eine Erklärung.

    Von Elisabeth 1, vor mehr als 3 Jahren
  6. Default

    Also ich fand es vollkommen in Ordnung, danke, hat mir sehr geholfen ;)

    Von Pinklady 5, vor mehr als 3 Jahren
  7. Default

    sneller steve

    Von Leonie Lienau, vor fast 4 Jahren
  8. Default

    Woa, versteh nur Bahnhof.

    Von Nick .., vor fast 4 Jahren
  9. Default

    Dass es schnell war, brauch ich nicht mehr zu schreiben oder? :D

    Von Gurke Nr1, vor etwa 4 Jahren
  10. Default

    mir ist schwindelig :S

    Von Esther Zeiler, vor mehr als 4 Jahren
  11. Default

    viel zu schnell...

    Von Bsleon, vor mehr als 4 Jahren
  12. Default

    das ist ja meega schnell ! daraus könnte man 3 videos machen :(
    ansonsten gut erklärt

    Von Michal P., vor mehr als 4 Jahren
  13. Default

    wirklich richtig gut erklärt!!! Es war nur einfach viel zu schnell!

    Von Moer16, vor mehr als 4 Jahren
  14. Bewerbungsfoto

    Hallo Neuheid,
    du hast recht. Einige meiner Filme sind recht schnell. Zumindest muss man öfters Pause drücken, um dann die Rechnungen langsam nachzuvollziehen. Ich habe diese Videos schon vor einiger Zeit gemacht und weiß nun, dass ich langsamer erklären muss. Bei den nächsten Videos werde ich dies berücksichtigen. Danke für das Feedback.
    Steve

    Von Steve Taube, vor fast 5 Jahren
  15. Default

    Das ist doch viiiiiiel zu schnell
    Wir schauen u ns das doch an weil wir es nicht verstanden haben , aber wie soll man es bei diesem Tempo auch nur halbwegs verstehen ?!
    Die Aufmachung ist ja gut nur das Tempo ist verbessserbar.

    Von Neuheid, vor fast 5 Jahren
  16. Default

    Das ist doch viiiiiiel zu schnell
    Wir schauen u ns das doch an weil wir es nicht verstanden haben , aber wie soll man es bei diesem Tempo auch nur halbwegs verstehen ?!
    Die Aufmachung ist ja gut nur das Tempo ist verbessserbar.

    Von Neuheid, vor fast 5 Jahren
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