Advent, Advent, 1 Monat weihnachtliche Laufzeit geschenkt.

Nicht bis zur Bescherung warten, Aktion nur gültig bis zum 18.12.2016!

Textversion des Videos

Transkript Steigung bei proportionalen Funktionen – Steigungswinkel

Hallo! Es geht um den Steigungswinkel einer Geraden, und der ist folgendermaßen definiert: Der Steigungswinkel einer Geraden ist der Winkel zwischen Gerade und x-Achse. Das geht natürlich nur, wenn die Gerade auch die x-Achse schneidet, so wie hier. Sollte die Gerade nicht die x-Achse schneiden, ist der Steigungswinkel 0, denn dann verläuft sie parallel zur x-Achse und wie gesagt, der Steigungswinkel ist dann 0. Das steht jetzt hier nicht noch mal extra, aber jetzt weißt du es ja. Es ist weiter festgelegt, dass der Steigungswinkel immer zwischen 0 und 180° liegt, wobei er nicht 180° sein kann. Er muss kleiner sein als 180. Er kann aber gleich 0 sein, wie eben schon erwähnt. Kurze Veranschaulichung dazu, wann ist der Steigungswinkel größer als 90°; was muss da passieren? Und da möchte ich noch mal eben erklären, wie misst man Winkel? Das haben viele Leute vergessen, deshalb sage ich das noch mal ganz elementar. Es geht darum, was ist die positive Winkelrichtung, die gibt es ja, und die ist entgegengesetzt des Uhrzeigersinns. Das kannst du dir so vorstellen: Du stellst dich hier auf diesen Scheitelpunkt des Winkels. Mal angenommen, ich stehe jetzt auf diesem Scheitelpunkt, dann habe ich hier einen Winkelschenkel und da noch einen Winkelschenkel. Ich kucke in Richtung des rechten Winkelschenkels und drehe mich von da aus nach Links herum, und das ist die positive Richtung. Man kann auch sagen "en dehors" ist das, mit Links. Also, da ist die positive Richtung. Und dann kann man sich vorstellen, was passiert, wenn man jetzt hier ansetzt, das ist der rechte Winkelscheitel, und man dreht hier herum, und zwar mehr als 90°, dann bekommt man eine Gerade, die also hier eine negative Steigung hat. Auch das ist ein Steigungswinkel, der dann größer als 90° ist. Wie berechnet man den Steigungswinkel? Und zwar, indem man sich folgendes überlegt. Wir kennen die trigonometrische Funktion Tangens. Wir können Tangens von α bilden. Und ich behaupte hier, dass ist (y2-y1)/(x2-x1). Wie komme ich darauf? x1 und y1 sind Koordinaten eines Punktes dieser Geraden. Ebenso x2 und y2. Es sind auch Koordinaten eines Punktes dieser Geraden. Wenn wir hier an dieser Geraden das Steigungsdreieck einzeichnen, oder anzeichnen, an diese Gerade, dann erhalten wir ein rechtwinkliges Dreieck. Und da diese Kathete hier parallel zur x-Achse verläuft, haben wir hier Stufenwinkel, und deshalb ist der Winkel auch gleich α. Die Funktion Tangens berechnet man im rechtwinkligen Dreieck, indem man Gegenkathete durch Ankathete rechnet. Die Katheten sind ja die Seiten des Dreiecks, die am rechten Winkel anliegen, also diese Beiden hier. Aus Sicht von α ist das hier die Gegenkathete, die Kathete die also α gegenüberliegt, die Ankathete ist die, die an α dranliegt. Deshalb also diese Seite geteilt durch diese Seite ist der Tangens von α. Diese Seite hat die Länge der y-Differenz, da steht sie. Diese Seite hat die Länge der x-Differenz, also x2-x1. Das steht hier. Und wir wissen, dass was da rauskommt ist also die Steigung dieser Geraden. So, das war jetzt mit allem Drum und Dran die Erklärung. Als nächstes wollen wir ja nicht wissen, was ist der Tangens von α. Wir wollen wissen: Was ist α selber? Und da kennst du die Umkehrfunktion des Tangens. Also der Tangens ordnet ja einem Winkel einen Quotienten zu, bzw. eine Steigung, Gegenkathete durch Ankathete, hier ist es die Steigung. Die Umkehrfunktion ordnet einer Steigung, bzw. hier einem solchen Quotienten, einen Winkel zu. Und diese Funktion heißt Arcustangens, bzw. tan^-1. Arcustangens von m, Arcustangens von diesem Quotienten ist gleich α, das ist der Winkel. Oder, man kann auch sagen, tan^-1(m)=der Winkel, der Steigungswinkel, oder auch tan^-1 von diesem Bruch hier, von diesem Quotienten. tan^-1 bedeutet hier wie immer bei Funktionen die Umkehrfunktion, das ist nicht wie bei den Potenzen, sag ich nur noch mal. Bei Potenzen, a^-1 bedeutet ja, 1/a, oder a^-n bedeutet 1/an, das ist hier nicht der Fall. tan^-1 ist die Umkehrfunktion. Und so kann man also bei gegebener Steigung den Steigungswinkel berechnen. Oder eben auch, wenn du 2 Punkte gegeben hast, dieser Funktion, kannst du damit einfach den Steigungswinkel berechnen. Viel Spaß damit, tschüss!

Informationen zum Video
3 Kommentare
  1. Default

    super video !

    Von Moritzm99, vor etwa einem Jahr
  2. Default

    hat mir sehr weitergeholfen, vielen Dank!

    Von Scott La Rock, vor mehr als 4 Jahren
  3. Default

    Danke für die Erklärungen! Dir scheint Mathe echt Spaß zu machen :-). Und mir jetzt auch! Super!

    Von Markus P., vor mehr als 6 Jahren