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Transkript Stammfunktionen ganzrationaler Funktionen

Hallo liebe Zuschauer, in diesem Video geht es um die Stammfunktion von ganzrationalen Funktionen. Fangen wir mal mit einer ganz einfachen Potenzfunktion an, nämlich mit x. In die Richtung wollen wir also integrieren und in diese Richtung wollen wir ableiten und wir wissen ja schon, dass beim Ableiten Potenzen immer um 1 kleiner werden, deswegen müssten sie ja eigentlich beim Integrieren 1 größer werden. Und deswegen probier ich mal als Stammfunktion hier x2. Die Ableitung ist 2x. D.h. wenn wir den Faktor ½ noch davor hätten, dann würde es stimmen und den Faktor können wir einfach übernehmen für die Stammfunktion, weil Faktoren darf ich ja aus dem Integral rausziehen. Dann ist die Ableitung also wirklich x, kann man noch mal schnell nachrechnen und die Stammfunktion ist dann also ½x2+C. Jetzt gehen wir einen Schritt weiter und nehmen die Funktion x2. Da probieren wir es wieder mit der Potenz, deren Exponent 1 größer ist, also x3 und leiten die ab und das ergibt 3x2. Da müsste ich also den Faktor 1/3 noch ergänzen, damit wirklich x2 rauskommt. Und 1/3x3 hat wirklich die Ableitung x2. 3×1/3×x2. Und die Stammfunktion ist dann also 1/3x3+C. Jetzt sind wir so weit, dass wir das mal allgemein probieren können. Für xn mit einem natürlichen Exponenten n. Wir probieren  einfach mal xn+1 abzuleiten und das ergibt (n+1)×xn. Der Exponent wird 1 kleiner und der alte Exponent kommt nach vorne. Und da muss ich dann also noch durch n+1 teilen, damit der Faktor vorne wegfällt. Die Stammfunktion von xn ist dann also (1/(n+1))×xn+1+C. Also ich merke mir als Faustregel immer, mach den Exponenten 1 größer und schreib den Kehrwert dieses neuen Exponenten als Faktor davor. Jetzt können wir damit also schon alle Potenzfunktionen integrieren. Und ganzrationale Funktionen sind ja eigentlich nur Summen vom vielfachen von Potenzfunktionen. Und da hatten wir beim letzten Mal die Summenregel und die Faktorregel. Und mit diesen beiden Regeln und den Potenzregeln können wir dann eigentlich alle ganzrationalen Funktionen integrieren. Nehmen wir als Erstes mal die Funktion 3x3+5x5. Da kann ich also die Summe der Einzelintegrale bilden, nach der Summenregel und dann kann ich auch jeweils noch die konstanten Faktoren rausziehen, nach der Faktorregel. Und der Rest geht mit der Potenzregel. Wir haben also 3×, dann ist der Exponent 2, der wird um 1 größer und kommt als Kehrwert als Faktor davor, also 1/3×x3. Dann +5×, jetzt ist der Exponent 5, dann ist die neue Potenz also x6 und die 6 kommt wieder als Kehrwert davor. So, +C dürfen wir nicht vergessen und das ergibt dann x3+5/6x6+C. Jetzt können wir noch mal nachprüfen, ob das stimmt. Wir leiten also mal ab. x3 ergibt 3x2, das stimmt. 5/6x6, da nehme ich also 5/6×6, das ist 5, der Exponent wird 1 kleiner, also x5, das stimmt auch und das C fällt weg. Nächstes Beispiel. 3/7x5+½x+4 schreiben wir wieder als Summe der Einzelintegrale, dann ziehen wir die Faktoren jeweils raus und dann haben wir 3/7×(1/6x6+Integrationskonstante C1, das habe ich in dem Beispiel eben nicht gemacht, da habe ich die nur ganz am Schluss hinzugefügt und ich will jetzt hiermit noch mal zeigen, dass das wirklich reicht, die ganz am Schluss dazuzufügen.)+½(½x2+C2)+4x+C3. Das ergibt 1/14x6+3/7C1+¼x2+½C2+4x+C3. Jetzt sehen wir, dass die ganzen Konstanten sich einfach nur zusammenfügen zu einer neuen Konstanten. Und die nennen wir dann eben C. Und wenn man das ein paarmal gemacht hat, dann kann man sich auch die Zwischenschritte mit der Summe und dem Vielfachen sparen, dann nimmt man sich einfach sofort die Summe der Vielfachen von den Potenzfunktionen, die man hat.  Also hier z.B. 2/3×1/8x8-4^×1/3×x3+C. Damit sind wir fertig und beim nächsten Mal schauen wir uns negative Exponenten an und Wurzeln.

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19 Kommentare
  1. Bewerbungsfoto

    Schau mal hier:
    http://www.sofatutor.com/mathematik/videos/integration-durch-substitution-und-lineare-substitution-einfuehrung
    ab 4:50

    Von Steve Taube, vor 2 Monaten
  2. Bewerbungsfoto

    Als Regel kannst du dir merken, dass du nach Anwendung der Potenzregel noch durch die Ableitung der inneren Funktion teilen musst. Das geht aber nur, wenn die innere Funktion linear ist. Diese Regel heißt "Lineare Substitutionsregel".

    Von Steve Taube, vor 2 Monaten
  3. Bewerbungsfoto

    Wenn du jetzt aber zur Probe
    3/4 (2x-4) hoch 4/3 ableitest, kommst du auf
    2 * (2x - 4) hoch 1/3, weil ja in der Klammer 2x-4 steht (innere Ableitung). D.h. du musst an der Stammfunktion noch * 1/2 nehmen, damit sich auch das aufhebt:
    F(x) = 1/2 * 3/4 (2x - 4) hoch 4/3 + C

    Von Steve Taube, vor 2 Monaten
  4. Default

    Dankeschön... habe es verstanden

    Von Alina 22, vor 2 Monaten
  5. Bewerbungsfoto

    f(x) = (2x-4) hoch 1/3
    Laut Potenzregel:
    F(X) = 3/4 (2x - 4) hoch 4/3 (der Exponent wird um 1 erhöht und dann der Kehrwert des neuen Exponenten als Faktor vor die Funktion geschrieben).

    Von Steve Taube, vor 2 Monaten
  1. Default

    Bis zu hoch 1/3 bin ich auch schon gekommen nur danach hackt es bei mir...und nein es ist für die Vorbereitung der Klausur...ich versteh nich was das gesamte ergeben soll?

    Von Alina 22, vor 2 Monaten
  2. Bewerbungsfoto

    Also ich sollte dir jetzt nicht die Aufgabe lösen (Hausaufgabe?). Versuche, mit meinen Hinweisen drauf zu kommen. Dann kannst du mir deine Lösung schicken. Wie gesagt (2x-4) hoch 1/3, dann Potenzregel, dann bist du schon fast fertig.

    Von Steve Taube, vor 2 Monaten
  3. Default

    Wie würde dann die Stammfunktion lauten?

    Von Alina 22, vor 2 Monaten
  4. Bewerbungsfoto

    Schreibe dritte Wurzel von (2x-4) als Potenz:
    (2x-4) hoch 1/3, dann kannst du die Potenzregel (für Stammfunktionen) anwenden. Denke daran, dass innerhalb der Klammer eine lineare Funktion steht. Du musst also lineare Substitution anwenden. Falls dir das nichts sagt, wende erstmal nur die Potenzregel an, und mache dann die Probe. Schau dir an, was du am Ergebnis noch ändern musst, damit wieder (2x-4) hoch 1/3 rauskommt.
    Viel Erfolg!

    Von Steve Taube, vor 2 Monaten
  5. Default

    Bitte um Erklärung:
    f(x)=3.Wurzel von 2x-4
    Wie bilde ich hier die Stammfunktion?

    Von Alina 22, vor 2 Monaten
  6. Bewerbungsfoto

    Nur meine Videos? Das dürfte eigentlich nicht passieren.
    Also bei mir lädt es ganz normal. Wenn du generell Probleme mit dem Laden der Videos hast, liegt es eventuell an deiner Internetverbindung oder an deinem Browser (veraltete Version?)

    Von Steve Taube, vor etwa einem Jahr
  7. Girl gymnastics

    Habe probleme mit deine Videos, die laden nicht ...

    Von Iriskall, vor etwa einem Jahr
  8. Bewerbungsfoto

    :) Vielen Dank, das liest man gern. Viel Erfolg dir!

    Von Steve Taube, vor fast 2 Jahren
  9. Default

    Steve, du bist ein begnadeter Mathelehrer! Ich hoffe, ich kann die Basics der Integralrechnung meinen eigenen Schülern auch so klar und unmissverständlich erklären wie du! Freue mich auf viele weitere Videos von dir!!!

    Von Green Spirit, vor fast 2 Jahren
  10. Default

    super

    Von Harmsen Franziska, vor fast 3 Jahren
  11. Default

    Hakhakhak

    Von Camschn, vor etwa 3 Jahren
  12. Default

    sorry, ich verstehe es nicht

    Von David23, vor mehr als 3 Jahren
  13. Default

    Brilliant!

    Von Green Spirit, vor mehr als 3 Jahren
  14. Default

    Das Video hakt....

    Von Deni Machtnix, vor mehr als 4 Jahren
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