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Transkript Stammfunktionen bzw. unbestimmte Integrale

 Hallo. In diesem Video geht es darum, was ein unbestimmtes Integral ist. Wir schauen uns die Integrationskonstante an, die Summenregel und die Faktorregel und die Stammfunktion von konstanten Funktionen. Die Funktion groß F(x)=3x ist ja offensichtlich eine Stammfunktion von klein f(x)=3. Aber die Funktion G(x)=3x+4 ist auch eine Stammfunktion von f(x)=3. Und sogar die Funktion H(x)=3x-π ist auch eine Stammfunktion von f(x)=3. Und deswegen spricht man nicht von der Stammfunktion einer Funktion, sondern immer von einer Stammfunktion, weil es nämlich ganz viele gibt. Und wir haben auch beim Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung schon gesehen, dass es sogar egal ist, welche der Stammfunktion wir in die Formel einsetzen, um eine Fläche auszurechnen. Allgemein schreiben wir die Stammfunktion also als groß F(x)=3x+C, also eine beliebige Konstante, ist gleich Integral der Funktion 3dx. Da fehlen also ganz offensichtlich die Integrationsgrenzen und die braucht man auch nicht, denn es geht einem ja nicht um die Fläche, sondern es geht einem wirklich nur um die Stammfunktion der Funktion 3. Ja, wenn das der Fall ist, dann spricht man von einem unbestimmten Integral. Das unbestimmte Integral bei der Funktion 3 ist also im Prinzip, die Menge aller Funktionen, die die Funktion 3 als Ableitung haben. Und die unterscheiden sich alle nur um eine Konstante, die Integrationskonstante. Die bezeichnen wir dann immer mit C. Am Graphen kann man das auch ganz gut sehen. Nehmen wir mal irgendeine Funktion f und Funktionen, die sich jeweils nur um eine Konstante unterscheiden. Das entspricht also immer einer Verschiebung auf der y-Achse. Rechnerisch haben die alle die gleiche Ableitung, nämlich f ` und geometrisch ist das auch klar. Denn Ableitung bedeutet ja Steigung und der Steigungsverlauf ist bei allen Funktionen gleich, egal in welcher Höhe die sind. Jetzt erstellen wir uns mal eine erste kleine Tabelle von Funktionen und ihren Stammfunktionen. Als Erstes wäre da die Nullfunktion. Deren Stammfunktion ist einfach eine Konstante C. Dann die konstante Funktion f(x)=k, für k Element R, die hat die Stammfunktion k×x und das +C dürfen wir nicht vergessen. Das ist übrigens ein sehr ärgerlicher aber trotzdem häufiger Fehler in Klassenarbeiten. Man soll also eine Stammfunktion bestimmen, irgendein unbestimmtes Integral und dann vergisst man hinten das +C und kriegt deswegen ein falsch. Deswegen mache ich hier das immer in rot, also versucht da echt immer dran zu denken. Und dann nehmen wir noch die e-Funktion f(x)=ex, deren Stammfunktion ist ex und, genau +C. Jetzt kommen wir noch zur Summenregel. Die sagt uns, was die Stammfunktion die Summe zweier Funktionen ist. Und zwar sagen wir mal, dass wir schon wissen, dass die Stammfunktion von klein f, die Funktion groß F ist und die Stammfunktion von klein g, die Funktion groß G. Und wir leiten die Summe der beiden Stammfunktionen ab, dann dürfen wir die Ableitungen einzeln bilden, nach der Summenregel für Ableitungen, und das ist ja dann genau f(x)+g(x). Wir haben also eine Funktion gefunden, die unseren Integranten als Ableitung hat. Und das ist groß F + groß G, die können wir aber wieder einzeln schreiben als Integral von f(x)dx+ Integral g(x) dx. Das heißt also, dass Integral der Summe zweier Funktionen ist gleich der Summe der Integrale. Wenn wir also jetzt zum Beispiel das Integral von ex+4dx bestimmen wollen, dann ziehen wir das einfach auseinander als Integral von ex plus Integral von 4. Und das ist dann ex+4x+C natürlich. Entsprechend gibt es auch noch die Faktorregel für das Integral eines konstanten Vielfachen einer Funktion. Wir gehen wieder davon aus, dass wir die Stammfunktion klein f schon kennen und dann leiten wir mal das k-fache dieser Stammfunktion ab. Da dürfen wir den Faktor rausziehen, auch das ist eine Ableitungsregel, und das können wir dann wieder schreiben als k×f(x), nach Voraussetzung. Das ist aber gerade unser Integrant und für den haben wir jetzt eine Stammfunktion gefunden, nämlich k×F(x), die können wir aber nach Voraussetzung schreiben als k× Integral f(x)dx. Konstante Vielfache einer Funktion darf man also aus dem Integral rausziehen. So ist also zum Beispiel das Integral von ½exdx=½×das Integral von exdx und das ist ½×ex+C natürlich. Das war es. Und beim nächsten Mal stürzen wir uns dann auf alle ganzrationalen Funktionen.

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11 Kommentare
  1. Bewerbungsfoto

    Hallo Iris,
    manchmal dauert es wahrscheinlich einfach ein wenig, bis das Video geladen ist. Wenn du nach dem Video noch Fragen hast, melde dich hier.
    Viel Erfolg!

    Von Steve Taube, vor mehr als einem Jahr
  2. Girl gymnastics

    Jetzt gehts :)

    Von Iriskall, vor mehr als einem Jahr
  3. Girl gymnastics

    Ich kann das Video nicht starten ... ich bräuchte unbedingt die Erklärung zu diesem Thema

    Von Iriskall, vor mehr als einem Jahr
  4. Default

    Ich ferschde kein einziges Wort bin erst in der 4 klasse

    Von Sonjap, vor etwa 2 Jahren
  5. Default

    Hahahahahahahhahahha

    Von Sonjap, vor etwa 2 Jahren
  1. Bewerbungsfoto

    Zum Beispiel
    http://www.sofatutor.com/mathematik/videos/ganzrationale-funktionen-aus-gegebenen-eigenschaften-bestimmen

    http://www.sofatutor.com/mathematik/videos/rekonstruktion-ganzrationaler-funktionen-uebersicht-eigenschaften

    http://www.sofatutor.com/mathematik/videos/modellierung-der-oberkante-eines-eingangstores-mittels-einer-ganzrationalen-funktion

    http://www.sofatutor.com/mathematik/videos/parameteraufgabe-strassenstueck-methode

    Suche nach den Stichwörtern "Rekonstruktion", "Parameteraufgabe", "Funktionsbestimmung".

    Von Steve Taube, vor fast 3 Jahren
  2. Bewerbungsfoto

    Hallo Ludwig,

    die entsprechenden Videos findest du unter dem Stichwort "Rekonstruktion von Funktionen".

    Von Steve Taube, vor fast 3 Jahren
  3. Default

    Hey, ich habe eine Frage zur Bestimmung von Konstanten (a,b,c,d) aus angegebenen Punkten aus einen Graph, finde aber leider dazu keine Viedeos. Da ich ihre Erklärung sehr gut finde, wollte ich sie fragen, ob sie mir dabei weiterhelfen könnten?
    Liebe Grüße!

    Von Ludwig F., vor fast 3 Jahren
  4. Default

    Hm, ich kann irgendwie deine Videos nicht starten ...

    Von Alexfgfb, vor etwa 4 Jahren
  5. Bewerbungsfoto

    :) Danke fürs Lob!

    Von Steve Taube, vor fast 7 Jahren
  6. Ich

    Hey Steve, vielen Dank für die tolle Erklärung. Das ist wieder eins von diesen Videos, bei denen ich mich frage warum der Prof es in der Vorlesung mal eben per beamer an die Wand wirft und gut ist. Nein der muss da ewig rumquatschen ^^. Weiter so!
    Gruß vom Dude

    Von Der Dude, vor fast 7 Jahren
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