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Transkript Stammfunktionen – Beispiel (3)

Hallo! Eine Stammfunktion bitte, so könnte der Titel dieses Films lauten. Wir haben eine Funktion gegeben, nämlich f(x)=0,3/((\sqrtx)3)-(1/(3×\sqrtx)). Kein Problem, sieht vielleicht wild aus, die Stammfunktion ist hier aber auch schnell mithilfe dieser Regeln gefunden. Zunächst mal ist es ratsam, diesen Term hier umzuformen, und zwar in die Exponentenschreibweise. Das x, oder hier durch (\sqrtx)3 und so was, möchten wir schreiben als x hoch Exponent. Dann kann man die Stammfunktion viel einfacher suchen. Hier steht ja noch 0,3 - das schreibe ich als Faktor einfach mal davor, und da sehe ich schon, ich brauche mehr Platz nach oben. Ich werde jetzt das machen, was man eigentlich nicht so machen soll, ich lasse das Gleichheitszeichen hier mal runterrutschen, aber dann kann ich hier gleich besser schreiben. 0,3 - das ist ein Faktor, der einfach davor steht. Was ist jetzt 1/((\sqrtx)3)? Wir wissen, \sqrtx=x1/2. (\sqrtx)3=x3/2 und 1/((\sqrtx)3)=x^-3/2, und da siehst du, deshalb hab ich den Platz nach oben gelassen, damit ich das hier vernünftig hinschreiben kann. Dann kommt ein Minuszeichen, wir haben also -1/3 und 1/\sqrtx habe ich gerade schon erwähnt, so ähnlich zumindest habe ich es gesagt, ist x^-(1/2). Auch hier wieder genügend Platz nach oben, um ^-(1/2) hinschreiben zu können. Das muss man immer vorher einkalkulieren, das nicht so machen, wie ich das gemacht habe und ganz oben anfangen. Aber hier hat es ja noch geklappt. Dann wollen wir mal zur Tat schreiten und die Stammfunktion, oder eine Stammfunktion, suchen. Wir wissen zunächst mal, es handelt sich hier um eine Summe. Das heißt, wir können hier die Summenregel verwenden, auch wenn hier ein Minuszeichen steht, ist es ja eine Summe. Wir verwenden die Summenregel. Wir wollen also einzelnen Stammfunktionen zu diesem Summanden und zu diesem Summanden finden, so wie das hier steht. Also, 0,3 steht vor dem Term mit x. Das heißt, ich kann hier diese Faktorregel der Integralrechnung anwenden. k×, also k=0,3. x^-(3/2)=das u(x), dann schreib ich das k einfach hin. Und um groß U(x), also eine Stammfunktion von x^-(3/2) kümmere ich mich gleich. Dann brauch ich wieder viel Platz. F(x)=0,3 schreib ich hier mal einfach hin. Dann suchen wir eine Stammfunktion von x^-(3/2), wir stellen fest, wenn wir hier für n -3/2 einsetzen, dann haben wir genau diesen Funktionsterm hier und können also die Potenzregel anwenden, indem wir nämlich für n jeweils 3/2 einsetzen. Die 1 schreibe ich nicht hin, weil hier schon 0,3 steht. Ich glaube, das ist kein Problem. Also, für n setzen wir -3/2 ein +1×x-(3/2)+1. Ja, -3/2, ich hoffe, du kannst das gut erkennen. Ist vielleicht nicht so riesig groß geschrieben.  -1/3 ist wieder der Faktor k, wir können wieder die Faktorregel anwenden. Und x^-(1/2) hat diese Form, wenn man für n=-(1/2) einsetzt, deshalb können wir hier wieder die Potenzregel der Integralrechnung verwenden. Und wir können hier für n also -(1/2) einsetzen. Das schreibe ich jetzt doch noch als getrennten Bruch. Dann steht hier 1/-(1/2). Das ist -(1/2). +1×x-(1/2)+1. Nicht zu vergessen, das c kommt auch noch hinten dran, da steht es. Und dann kommt hier auch noch der Index dazu. Fc(x) ist also gleich dieses, ja, was soll ich sagen, Monstrum. Ist es eigentlich gar nicht. Da steht nur, da steht nur bisschen kleine Rechnungen. Das ist alles nicht kompliziert, was hier steht. Ich zeig dir, was da rauskommt, dann. Wir haben 0,3/(-(3/2)+1). -3/2+1=-1/2. Wenn wir durch -1/2 teilen, dann multiplizieren wir mit -2, und deshalb können wir einfach hinschreiben, Fc(x)=-0,6 - noch mal, wie bin ich darauf gekommen, -(3/2)+1=-1/2 - wenn man durch -1/2 teilt ist es wie mit -2 multiplizieren. 0,3×(-2)=-0,6. x-(3/2)+1 hatten wir schon. -(3/2)+1=-1/2. Also, x^-(1/2). Dann haben wir hier -(1/3)× -(1/2)+1 hier im Nenner ist 1/2, 1/(1/2)=2, -(1/3)×2=-2/3. -(1/2)+1=+1/2. Also x1/2. Folgt danach +c, selbstverständlich, hängen wir einfach an. Und das ist eine Stammfunktion, oder das sind jetzt alles Stammfunktionen von f(x). Immer wenn man für c eine Zahl einsetzt, entsteht hier eine Stammfunktion von f(x). Und wenn du davon überzeugt sein willst, dass das richtig gerechnet ist, kannst Du jetzt einfach ableiten, und dann kommt das hier also wieder heraus. Das spar ich mir jetzt. Viel Spaß damit. Tschüss!

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3 Kommentare
  1. Giuliano test

    @Saman Entzary:
    Schau dir dazu die folgenden Videos an:
    http://www.sofatutor.com/mathematik/videos/wurzeln-als-potenzen-schreiben-einfuehrung
    http://www.sofatutor.com/mathematik/videos/wurzeln-als-potenzen-schreiben-uebungen
    Ich hoffe, dass sie dir weiterhelfen können.

    Von Giuliano Murgo, vor fast 2 Jahren
  2. Default

    Mir fallen diese Umformungen am Anfang immer Extrem schwer.. Welche Videos bieten sich da an ?

    Von Saman Entzary, vor fast 2 Jahren
  3. Bewerbungsfoto

    :) jetzt geht's ans Eingemachte, endlich Stammfunktionen und Integrationsregeln von Martin! Ich freu mich drauf!

    Von Steve Taube, vor etwa 7 Jahren