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Transkript Stammfunktionen – Beispiel (2)

Hallo! Hier kommt ein Beispiel zum Finden von Stammfunktionen. Ein sehr einfaches Beispiel, das ich ganz ausführlich vorrechne. Ja, warum mache ich das so ausführlich? Einfach deshalb, um jedes mögliche Missverständnis auszuschließen, denn Missverständnisse sind hier einfach sehr ärgerlich, wenn man was anderes rechnet, als es gemeint ist. Also, deshalb hier in ganz ausführlich eine Stammfunktion zu der Funktion f(x)=x/(\sprt5). So, und da du ja in der Mittelstufe sehr viele Termumformungen gemacht hast, siehst du hier gleich, dass es sich um ein Produkt handelt, obwohl hier ein Bruchstrich steht, der ja normalerweise das Teilen beschreibt. Wir haben 1/\sqrt5×x. Das ist unser Funktionsterm und da darfst du jetzt hier bemerken, dass es sich um einen Funktionsterm der Form k×u(x) handelt. In dem Fall ist k die Zahl 1//\sqrt5 und u(x) ist einfach x. Wenn du jetzt hier kuckst, wie wird x abgeleitet, ja, wo steht das? Das steht hier, denn du weißt ja, das x=x1 ist. Diese 1 musst du dir in dem Fall dazu denken. Und dann haben wir hier also u(x)=x1, und damit haben wir jetzt die Regeln komplett, die wir anwenden müssen, um die Funktion mit dem Funktionsterm x/\sqrt5 integrieren zu können. Nicht ableiten sondern wir wollen integrieren. Wir wollen eine Stammfunktion finden und ich benutze das böse Wort für Integrieren, nämlich aufleiten, hier nicht. Auch in manchen Schulbüchern steht das so, ich kann mich da nicht daran gewöhnen. Ich sage zu dem Prozess, wir finden eine Stammfunktion zu einer gegebenen Funktion, dazu sage ich integrieren. O. k., nachdem das geklärt ist, können wir jetzt hier die Formeln anwenden. Einmal die Faktorregel der Integralrechnung. Der Faktor ist 1/\sqrtx, wir finden jetzt also eine Stammfunktion F(x) und beginnen mit dem Faktor 1/\sqrt5. Und x1, darauf wenden wir jetzt die Potenzregel der Integralrechnung an und dann steht hier zunächst mal 1/(n+1). n ist gleich 1, deshalb kommen wir hier noch mal zu der Aufgabe, dass wir 1+1 rechnen müssen. So ist das Leben. Hier wieder. n=1, und deshalb steht hier x1+1. Und da es ja mehrere Stammfunktionen gibt, möchte ich auch hier wieder +c hinschreiben und hier das F auch mit dem Index c versehen, denn hier stehen ja mehrere, unterschiedliche Stammfunktionen, je nachdem, was man für c einsetzt, stehen hier jeweils auch andere Funktionen. Und wenn man das so notiert, dann ist das auf jeden Fall völlig korrekt. Zu 1+1 muss ich nicht mehr viel sagen. Wir dürfen auch diese Brüche einfach zusammenfassen. Zähler×Zähler, Nenner×Nenner, und dann haben wir hier 2×\sqrt5. Die 2 schreibt man aus ästhetischen Gründen vor die Wurzel, wenn du die danach stehen hast, und danach ×2 stehen hast, ist das natürlich genauso richtig. Und da steht dann auch noch x2, ×x2+c. Und das kann man jetzt noch überprüfen. Am Anfang empfiehlt es sich immer, das mit der Ableitung zu überprüfen. Und zwar möchte ich jetzt einfach die Funktion ((1/(2\sqrt5))×x2) ableiten. Das c lasse ich weg, die Ableitung von c ist 0, kann ich mir sparen. Wir haben die Konstantenregel der Differenzialrechnung, das bedeutet, die Konstante hier bleibt einfach stehen, also 1/(2×\sqrt5)×, ja, x2 müssen wir noch ableiten, das ist nach Potenzregel der Differenzialrechnung 2×x2-1, ich schreib es hier hin, 2-1, Es ist natürlich klar, 2-1=1, x1 ist einfach x. Und hier siehst du direkt, man kann diese 2 kürzen. Ich deute das mal so an und dann kommt hier also einfach (1/\sqrt5)×x heraus. Damit ist jetzt die Ableitung gelungen. Die Ableitung ist gelungen, so, (1/\sqrt5)×x=x/\sqrt5. Wir haben also eine Funktion gefunden, deren Ableitung die Ausgangsfunktion ist. Wir haben nicht nur 1 Funktion gefunden, sondern ganz viele. Wenn wir nämlich verschiedene Zahlen für c einsetzen, erhalten wir hier verschiedene Funktionen, da auch. Und das sind also alles Stammfunktionen der Funktion f(x)=x/\sqrt5. Das ist die ganz ausführliche Erklärung dazu. Viel Spaß damit, tschüss!

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