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Transkript Stammfunktion – Definition

Hallo! Es geht um Stammfunktionen und da müssen wir natürlich als erstes Mal wissen, was ist überhaupt eine Stammfunktion und deshalb kommt hier die Definition. Wir haben eine Funktion f(x). Das ist zunächst mal irgendeine Funktion. Nebenbei bemerkt, für die Leute, die die Materie kennen, das muss hier jetzt keine integrierbare Funktion sein oder so was. Das ist jetzt wirklich irgendeine beliebige Funktion hier in dieser Definition von Stammfunktionen. Also, eine Stammfunktion, die gleich hier erscheinen wird, dieser Funktion f(x) ist eine Funktion, deren Ableitung f(x) ist. Die Frage ist: Warum habe ich jetzt hier keine Funktion hingeschrieben? Es gibt ein Formulierungsproblem dabei, und zwar werden Stammfunktionen normalerweise so geschrieben, also F(x). So werden Stammfunktionen geschrieben, und damit man die beiden jetzt auch in der Formulierung unterscheiden kann, nennt sich diese Funktion klein f von x und diese Funktion groß F von x. Da wir das jetzt wissen, kann ich also den Satz noch mal richtig formulieren. Eine Stammfunktion einer Funktion klein f(x), ist eine Funktion F(x), deren Ableitung gleich f(x) ist. Ja, das ist die Definition. Jetzt siehst du, dass ich hier noch einen Platz gelassen habe. Warum habe ich das gemacht? Weil es nämlich zu jeder Funktion klein f(x) mehrere Stammfunktionen gibt, vorausgesetzt, das muss man jetzt dazu sagen, es gibt überhaupt eine. Also, wenn es eine Funktion groß F(x) gibt, die Stammfunktion von klein f(x) ist, dann gibt es auch gleich mehrere Funktionen, deren Ableitung gleich klein f(x) ist, nämlich alle Funktionen der Form (F(x) + C). Das ist jetzt hier ein großes C, manchmal wird das C auch kleingeschrieben oder es steht da ein k, also das steht für irgendeine Zahl. C Element R, irgendeine Zahl, völlig egal. Wie kann man das verstehen? Nun, wenn wir jetzt hier diese Funktion (F(x) + C) ableiten, dann gehen wir nach Summenregel vor. Wir leiten F(x) ab, das ist f(x), das wissen wir schon laut Voraussetzung und wir leiten dann auch noch C ab. C ist abgeleitet gleich 0, eine konstante Funktion, nicht wahr, hat die Ableitung 0 und dann könnte ich hier jetzt noch + 0 dazuschreiben. Das lässt man aber normalerweise weg und ja, wegen der Ableitungsregeln ist also jede Funktion der Form (F(x) + C) eine Stammfunktion von klein f(x), falls die Ableitung von groß F(x) klein f(x) ist. Kurz zur Veranschaulichung dieser verschiedenen Funktionen: Ich nehme mal hier ein Koordinatensystem und bastel mir irgendeine Funktion da rein. Die soll zum Beispiel so ungefähr verlaufen und dann habe ich hier unten die Ableitung der Funktion und da kann ich von der Ableitung sprechen, denn diese Funktion hat eine einzige Ableitung oder eine einzige Ableitungsfunktion genauer gesagt. Üblicherweise sagt man ja Ableitung. Wie sieht die ungefähr aus? Hier steigt die Funktion bis hier, ja? Da ist die Ableitung 0, die Funktion steigt, das heißt, die Ableitung ist positiv. Die Ableitung geht gegen 0, und zwar hier, wo die Funktion nicht mehr steigt und hier fällt die Funktion, hier fällt sie am stärksten und da fällt sie nicht mehr so stark. So, da ist sie fast 0. Die Ableitung ist fast 0 und hier fällt sie noch immer ein bisschen. So, das ist also die Ableitung dieser Funktion mal eben grafisch hier hingeschludert. Und jetzt wissen wir aber auch, wenn wir eine andere Funktion hier reinzeichnen, nämlich diese hier, so ungefähr, dann hat diese Funktion hier die gleiche Ableitung und ich kann noch eine da drübersetzen. Diese Funktion hat ebenfalls diese Ableitung hier. Ja, es ist nicht ganz genau geworden, man muss das hier ein bisschen schmaler machen. Also, alle diese Funktionen haben diese Ableitung, und wenn wir jetzt einfach sagen, das ist hier unser klein f(x) und wir suchen also zu diesem klein f(x) eine Funktion groß F(x), dann finden wir immer gleich mehrere, nämlich hier (F(x) + C). Ja, jetzt könnte ich hier dran schreiben (F(x) + C1), + C2 + C3, aber ich glaube es ist klar geworden. Es gibt mehrere Funktionen, deren Ableitungen gleich f(x) sind. Anderes Beispiel noch, vielleicht kennst du es aus dem Alltag, wenn du mal einen Berg hinaufläufst, dann kannst du unmittelbar feststellen, wie stark die Steigung ist. Das merkst du ja, wenn du läufst, aber du kannst nicht unmittelbar feststellen, wie hoch du bist, ja? Und das ist bei den Stammfunktionen genau so. Wenn wir diese Funktion kennen, dann wissen wir auch genau, welche Steigung diese Stammfunktionen jeweils haben. Wir wissen aber nicht in welcher Höhe sie sich befinden. Das ist jetzt nicht ganz mathematisch exakt, aber zur Vorstellung, glaub ich, ist das irgendwie ganz nett. Warum beschäftigt man sich überhaupt mit Stammfunktionen? Da gibt es mehrere Gründe. Ein ganz gewichtiger Grund ist der Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung. Der lautet ja so, wir möchten das bestimmte Integral bilden in den Grenzen von a bis b, und zwar das Integral der Funktion f(x). Und dieses Integral können wir einfach bestimmen, indem wir erst die obere Grenze b in eine Stammfunktion von f(x) einsetzen und dann die gleiche Stammfunktion noch mal hinschreiben und a einsetzen und diesen Funktionswert F(a) von dem Funktionswert F(b) abziehen. Das heißt also ein zentraler Punkt der Integralrechnung ist das Finden von Stammfunktionen. Wenn man nämlich zu f(x) eine Stammfunktion gefunden hat, dann kann man lauter bestimmte Integrale berechnen und noch viel mehr damit machen. Deshalb ist das ein Thema unter anderem und deshalb wird das in der Schule gemacht. Und nur zum Ausblick, wie es weitergeht: Du musst demnächst nicht die Stammfunktion erraten, sondern da gibt es Regeln für. Da sind so ein paar davon und das zeige ich dann in den nächsten Filmen, wie man damit umgeht. Viel Spaß! Bis bald! Tschüss!  

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