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Transkript Skalarprodukt – Überblick

Hallo. Also in diesem Video möchte ich euch erzählen, wie das Skalarprodukt zweier Vektoren im R3 definiert ist und was man damit so machen kann. Ihr wisst wahrscheinlich schon, dass man Vektoren addieren und subtrahieren kann und dass man auch Vielfache von Vektoren bilden kann und der nächste Schritt wäre ja, zu sagen, wie sieht eigentlich das Produkt zweier Vektoren aus? Und das wollen wir uns jetzt mal anschauen. Wir nehmen uns also 2 Vektoren im R3, wir bilden jeweils das Produkt von Komponenten, die an der gleichen Stelle stehen, und summieren diese Produkte auf. Also a1b1+a2b2+a3b3. Das war sozusagen die 1. Definition, es gibt noch eine andere und wir bezeichnen mal Vektoren mit Pfeilen oben. Dann haben wir das Skalarprodukt der Vektoren a und b = Länge des Vektors a × Länge des Vektors b × Kosinus des Winkels, den die beiden einschließen. Und man kann es auch noch als Matrizenprodukt schreiben, nämlich als a transponiert × b. Dann hat a transponiert ja das Format 1Kreuz3 und b hat Format 3Kreuz1, damit kommt also raus: Format 1Kreuz1, also eine Zahl. Das sollte einem sowieso bewusst sein, das Ergebnis eines Skalarproduktes ist immer eine Zahl. Rechnen wir mal das Skalarprodukt der Vektoren (-2|1|3) und (1|-4|0) aus. Da haben wir also -2×1+1×(-4)+3×0 und das ist -6. Was man ganz häufig braucht, ist, wenn das Skalarprodukt zweier Vektoren 0 ist, dann sind die senkrecht aufeinander. Hier zum Beispiel die Vektoren (1|-3|2) und (2|4|5). Wenn man sich die 2. Definition noch mal anschaut, kann man das auch sehen. Der Kosinus muss 0 sein, denn das Skalarprodukt ist 0, aber die Längen sind nicht 0. Ist der Kosinus des Winkels 0, ist der Winkel aber 90°. Das Skalarprodukt ist sowieso zur Winkelberechnung sehr nützlich. Wir wollen jetzt mal den Winkel zwischen diesen beiden Vektoren ausrechnen. Dazu stellen wir die Formel von oben nach dem Kosinus um. Das Skalarprodukt ist 1×3+0×1+(-2)×1. Für die Länge der Vektoren quadriert man jeweils die Einträge, summiert sie auf und zieht die Wurzel. Es ergibt sich 0,135. Der entsprechende Winkel ist 82,3°. Es gibt auch noch eine geometrische Interpretation. Hat einer der Vektoren die Länge 1, sagen wir e, dann ist das Skalarprodukt a×e = der Länge der Projektion des Vektors a auf den Vektor e. So, noch mal das Wichtigste zusammengefasst. Das Ergebnis des Skalarproduktes ist eine Zahl. Ist das Skalarprodukt 0, dann sind die beiden Vektoren senkrecht aufeinander. Und man kann das Skalarprodukt sehr gut nutzen, um den Winkel zwischen 2 Vektoren zu berechnen.

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11 Kommentare
  1. Bewerbungsfoto

    Hallo Aliccia,
    man kann das Skalarprodukt geometrisch deuten:
    Wenn man sich die Vektoren im Raum anschaut (sie am gleichen Punkt beginnen lässt) und dann den einen auf den anderen senkrecht projiziert, so erhält man eine "Strecke" (einen Abschnitt auf dem Vektor, auf den projiziert wurde). Wenn man die Länge dieser Strecke mit der Länge des Vektors (auf den projiziert wurde) multipliziert, erhält man das Skalarprodukt.
    Es ist etwas leichter vorzustellen, wenn einer der Vektoren die Länge 1 hat, dann ist nämlich die Länge der Projektion des einen auf den anderen (Reihenfolge egal) das Skalarprodukt.

    Von Steve Taube, vor fast 2 Jahren
  2. Default

    Was sagt mir das Ergebnis bzw. die Zahl bei einem Skalarprodukt denn, vorallem wenn es nicht in der Koordinatenform berechnet wird? In anderen Worten, wenn die Länge des Vektors a z.B. 3,5 ist und die von Vektor b 4 und man dazu einen winkel mit 55Grad hat. Man rechnet dies dann aus und bekommt eine Zahl, aber was genau sagt die mir bzw. was sagt sie aus?

    Von Alicciaribot, vor fast 2 Jahren
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    Super erklärt, vielen Dank.

    Von Mirella C., vor etwa 3 Jahren
  4. Bewerbungsfoto

    Hallo,

    das macht man gewöhnlich mit dem Taschenrechner. Da gibt es die Taste "arccos" bzw. "cos hoch -1". Das ist die Umkehrfunktion des Cosinus. Denn wir haben ja eine Zahl (hier 0,135) und wollen wissen, von welchem Winkel das der Cosinus ist. Bei den meisten TR gibst du 0,135 ein und drückst danach die oben genannte Taste. Achte darauf, in welchem Winkelmodus dein TR gerade eingestellt ist ("deg", "rad" oder "grad"). Wenn er auf "deg" eingestellt ist, also Grad, dann erhältst du das Ergebnis in Grad. Wenn er auf "rad" eingestellt ist, erhältst du das Bogenmaß.

    Von Steve Taube, vor mehr als 3 Jahren
  5. Default

    Eine Frage: Bei der Winkelberechnung ergibt das Skalarprodukt in dem Beispiel 0,135. Wie kommst du von dieser Zahl zu dem Winkel Alpha=82,3°? Danke!! =)

    Von Isi Windheuser, vor mehr als 3 Jahren
  1. Default

    Vielen Dank! (=

    Von Darya Sunfire, vor mehr als 4 Jahren
  2. Bewerbungsfoto

    Hallo Darya,

    du nimmst keinen von beiden. Du nimmst den Winkel zwischen der Geraden und dem Normalenvektor der Ebene. Das Ergebnis musst du noch von 90° abziehen.

    LG, Steve

    Von Steve Taube, vor mehr als 4 Jahren
  3. Default

    Wenn ich den Winkel zwischen einer Geraden und einer Ebene ausrechnen möchte, welche Vektoren benutze ich jeweils für die Formel? Nehme ich den ersten Richtungsvektor der Ebene und den der Gerade? oder beide Richtungsvektoren der Ebene jeweils mit dem der Gerade?

    Von Darya Sunfire, vor mehr als 4 Jahren
  4. Default

    Hat sich nach langem Laden erledigt - einfach ein wenig Geduld mitbringen =)

    Von Mawarth, vor mehr als 5 Jahren
  5. Default

    Das Ton bei dem Video funktioniert, jedoch sehe ich in diesem Video nur einen weißen Bildschirm. Andere Videos funktionieren einwandfrei bei mir. Echt schade, ums Video.

    Von Mawarth, vor mehr als 5 Jahren
  6. Default

    super gemacht, danke schön...

    Von Denis1991, vor etwa 7 Jahren
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