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Transkript Skalare Multiplikation – Rechengesetze

Hallo! Wir wissen schon, was die skalare Multiplikation ist. Das heißt, wir haben eine Zahl und multiplizieren mit einem Vektor. Dann können wir das auch mit Rechengesetzen in Verbindung bringen, denn zu so was gibt es ja auch Rechengesetze. Und da komme ich zu einem entscheidenden Punkt, der für viele dann oft komisch wirkt. Diese Multiplikation Zahl x Vektor, diese skalare Multiplikation, der Vektor mit den Koordinaten abc, hier eine reelle Zahl r, das ist nur von links definiert. Die reelle Zahl muss immer links stehen und danach, rechts daneben, kommt der Vektor. Warum ist das der Fall? Würde man es auch von rechts definieren, dann bekäme man mit Rechengesetzen hinterher Schwierigkeiten. Das würde dann nicht so glatt durchlaufen. Man hätte Widersprüche oder müsste immer wieder Einschränkungen machen. Das ist rein aus technischen Gründen so gemacht worden, es gibt keine philosophische Erklärung dafür. Man hätte übrigens auch alles von rechts definieren können, das heißt, dass man sagt, der Vektor ist links und die Zahl rechts. Dann würde das auch alles funktionieren. In Deutschland hat man sich auf links geeinigt, die Zahl steht links und rechts steht der Vektor. Dann funktioniert das alles wunderbar. Wir haben Rechengesetze, und zwar das Assoziativgesetz. Das bedeutet, wir können zum Beispiel rechnen: Erst (r×s), das sollen jetzt zwei Zahlen sein. Die möchte ich mal klammern. Und dann hier ein Vektor, den ich aber nicht immer in 3 Komponenten schreibe oder mit den 3 Koordinaten. Sondern ich werde einfach schreiben: Vektor a und den können wir auch anders multiplizieren, nämlich r mit dem Ergebnis von (s×a). Das ist ein Gesetz, welches richtig ist. Ich schreibe die anderen beiden Gesetze auf. Auch hier gibt es 2 Distributivgesetze. Also, wenn du das Distributivgesetz schon früher gehasst hast, jetzt kommen gleich 2 davon. Wir machen Folgendes: Wir haben eine reelle Zahl r und die multiplizieren wir mit der Summe von 2 Vektoren, nämlich von a+b. Das können wir aber auch anders machen, indem wir erst r×a rechnen und zum Ergebnis r×b addieren. r×(a+b) =r×a+r×b. Und wie angekündigt, das 2. Distributivgesetz sieht so aus: Wir haben r+s, r und s sind reelle Zahlen, wir können die beiden erst addieren und dann mit dem Vektor a multiplizieren. Das geht aber auch, indem wir r×a rechnen und dazu dann addieren s×a. Wenn man das jetzt beweisen möchte, das kann man natürlich machen. Dann würde in den richtigen Mathe Büchern einfach stehen: Beweis ist trivial, ergibt sich rein aus der Definition, wie Multiplikationen und Additionen definiert sind. Man müsste das nur hinschreiben, und dann würde das da stehen, dass das richtig ist. Damit möchte ich mich jetzt nicht weiter aufhalten. Ich möchte einfach zeigen, wie du dir das vorstellen kannst. Dazu brauche ich einen Vektor, zum Beispiel diese Pfeile hier. Ich sage jetzt einfach, das sind Vektoren, das sind natürlich Pfeile, die einen Vektor darstellen. Wir haben r×s. Ich möchte mal für r und s, 3 und 2 einsetzen. Ich zeige es jetzt hier zwei dimensional auf dem Tisch. Im Dreidimensionalen ist es genau das Gleiche, hier ist es viel einfacher zu sehen. Ist also keine Einschränkung. Für r setze ich 3 ein und für s 2. Ich muss also zuerst 3×2 rechnen, das ist 6 und dann den Vektor a, der jetzt hier so dargestellt wird, mit 6 multiplizieren. Der Pfeil muss 6 mal hintereinander gesetzt werden. Es entsteht die Bewegung von hier bis da mit dieser Richtung, die schon vorgegeben ist. Das ist dann so ein großer Vektor, der dann entsteht. Wenn wir uns vorstellen wollen, dass dieses Assoziativgesetz richtig ist, dann muss man sich Folgendes überlegen: Für r habe ich 3 eingesetzt und für s 2. Das bedeutet, ich muss erst 2×a rechnen. Das sieht so aus, und das hinterher mit 3 multiplizieren. Einmal, zweimal, dreimal und dann muss ich das natürlich hintereinander setzen. Ich glaube, du kannst das nachvollziehen, dass hier wieder das Gleiche herauskommt wie vorher. Es ist derselbe Vektor. Die Wegeweise, die ich hier vorgemacht habe, ich glaube, die ist recht eingängig und da muss ich auch nicht viel zu erklären. Du kannst dir das sicher auch vorstellen. Dann komme ich mal zu dem 1. Distributivgesetz r×a+b. Wie kann ich mir das vorstellen? Ich brauch einen zweiten Vektor und ich setze die jetzt mal rechtwinklig aneinander. Das Rechtwinklige ist nicht nötig, bringt mir aber einen gewissen Vorteil beim Legen hier. Das kann auch ein ganz anderer Winkel sein, das ist alles egal. Mal angenommen, ich setze für r wieder 3 ein. Ich glaube ich habe irgendwann mal für r 2 eingesetzt. Was muss ich machen? Ich habe a+b, das sieht so aus. Dann kommt noch mal a+b, das sieht so aus und dann noch mal. Das ist also 3×(a+b). Jetzt kann ich aber auch 3×a+3×b rechnen. Wie sieht das aus? Ich muss den wegnehmen und hier das Dransetzen 3×a+3×b sieht so aus. Der Vektor ist wieder genau derselbe wie vorher. Ich muss das nur so ein bisschen verschieben, dann kriege ich wieder die Ausgangssituation, und das ist auch der Vektor von hier bis da. Es ist fast wie mit Bauklötzen, schwieriger ist die Sache hier nicht, so kann man sich das ganz gut vorstellen. Ich möchte wieder für r 3 einsetzen und für s 2 und das dann mit a multiplizieren. Wenn ich das so aufschreibe wie hier, dann muss ich erst 3+2 rechnen und dann ×a. Das ist fast das Gleiche wie beim Assoziativgesetz, schwieriger ist die Sache nicht. Dann muss ich das halt so zeigen. 3+2=5. Ich nehme mal den hier, 1, 2, 3, 4, 5. Das ist der Vektor, der rauskommt, wenn ich einen solchen Vektor hier mit 5 multipliziere. Die Frage ist: Kommt das Gleiche heraus, wenn ich den Vektor erst mit 3 multipliziere und dann das 2-Fache des Vektors dazu addiere. Das ist 3×a, das ist 2×a. Wenn man das addiert, dann muss man die einfach hintereinander setzen. Das ist natürlich das Gleiche wie 5×a. Mehr ist nicht passiert, so was Ähnliches hast du schon in der Grundschule gemacht. Aber hier geht es um die Vektoren dabei, das führt zu viel mehr Konsequenzen, als es in der Grundschule hatte, damit kann man auch viel mehr machen, mit diesen Vektoren. Die Grundlage selber ist aber relativ einfach für diese Rechengesetze. Viel Spaß damit. Tschüss!  

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