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Transkript Sinussatz und Cosinussatz – Verbindungsstrecke berechnen

Hallo, hier ist eine, wie ich finde, ganz lustige Übungsaufgabe zur Trigonometrie. Wir haben das hier gegeben, also einfach so ein paar Strecken, und wir suchen die Verbindung hier oben - die gestrichelte. Das ist hier 9,2, das ist ein 122-Grad-Winkel, 13,8 ist diese Strecke, dieser Winkel ist 132 Grad und diese Strecke hier ist 14,2. Es gibt viele Aufgaben, die in diesem Stil sind. Deshalb verzichte darauf, hier die Sachsituation zu nennen. Wenn man es so rum dreht, dann kann man einen Deich da sehen. Der hat jetzt sogar einen schiefen Untergrund. Wenn man den Abstand von da nach da wissen möchte, weil man da eine Röhre durchlegen möchte, dann kann man in diesen Deich nicht rein und erst einmal alles vermessen da drin, sondern man macht es natürlich von außen. Oder man hat hier irgendwelche Böschungen und Straßenbreiten und möchte eine Brücke darüber bauen - was auch immer. Die Situation ist auf jeden Fall die, dass wir nicht einmal ein Dreieck haben. Wir haben nichts, was irgendwie rechtwinklig ist oder irgendwas Gleiches - wir haben gar nichts. Und das ist die interessante Ausgangssituation. Da fängt man jetzt an, mit der Trigonometrie etwas zu machen. Und zwar, wenn wir diese Seite hier oben haben wollen, dann muss diese Seite, wenn wir Trigonometrie verwenden wollen, als Teil irgendeines Dreiecks auftauchen. Das geht, indem man sich ein Dreieck hinein konstruiert, nämlich zum Beispiel dieses hier. Wir kennen zwar diese Seite auch nicht, aber vielleicht lernen wir die noch kennen. Wenn wir diese Seite kennen würden, und diese Seite auch kennen würden - die kennen wir schon, ist ja 14,2 - und den eingeschlossenen Winkel  kennen, dann können wir wieder den Kosinussatz anwenden. So ist das immer: Wenn man 2 Seiten kennt und den eingeschlossenen Winkel - Kosinussatz anwenden. Wenn man 2 Winkel kennt und eine Seite - Sinussatz anwenden. Das heißt, wir bräuchten diese Seite hier. Die nennen ich einmal "a". Können wir denn a herausbekommen? Ja, können wir, weil nämlich a eine Seite eines Dreiecks ist, von dem wir eine Seite kennen - 9,2 - und eine andere Seite kennen - 13,8 - und den eingeschlossenen Winkel. Hervorragend, dann können wir den Kosinussatz anwenden und dann hier den Rest auch direkt ausrechnen. Das geht folgendermaßen: Ich möchte a2 haben - hinterher muss man dann natürlich noch die Wurzel ziehen - aber wenn man schon einmal a2 hat, dann ist es bis a auch nicht mehr weit. Ich schreibe jetzt nicht den Kosinussatz noch einmal hin mit a, b und c, weil wir hier auch nicht a, b und c haben, sondern konkrete Daten. Dann kommst du ein bisschen davon weg, dass es immer a, b und c sein muss. Wir müssen rechnen: Eine Seite zum Quadrat, das heißt 9,22+(nächste Seite zum Quadrat), das ist 13,82, -2×(die eine Seite, hier da steht)×(die andere Seite, die da steht)×cos(eingeschlossener Winkel) und das ist bei uns hier cos(122 Grad). Was kommt dann heraus für a? a ist dann ungefähr, wir können natürlich nur einen Näherungswert angeben, 20,2. Die Frage ist hier wieder: Auf welche Stelle muss man runden? Das muss man sich immer überlegen. In der Regel kommen hier irrationale Zahlen heraus. Wir haben unendlich viele Nachkommastellen und müssen uns jeweils überlegen, wie wir da weiterkommen. Hier habe ich gesagt, ich runde einmal auf die erste Nachkommastelle, weil 9,2 und 13,8 auch mit einer Nachkommastelle gegeben sind. Man muss allerdings noch berücksichtigen, dass man hier Zwischenergebnisse hat und man möchte mit diesen Zwischenergebnissen weiterrechnen. Dann ist es immer gut, wenn die Zwischenergebnisse möglichst genau sind. Man hätte also hier noch auf mehrere Nachkommastellen runden können. Ich wollte es nur erwähnt haben. Für mich ist das Endergebnis hier belanglos und deshalb lasse ich es dabei, auf die erste Nachkommastelle zu runden. Wie kriegen wir jetzt die Seite hier oben raus? Die nenne ich einmal b, die gestrichelte Seite. Wir haben a gegeben mit 20,2 und wir haben die andere Seite gegeben mit 14,2 und den eingeschlossenen Winkel, den haben wir nicht. Der Winkel hier unten, der von da bis da, der ist 132 Grad. Aber nicht der hier von a und 14,2 eingeschlossen wird, der ist nicht 132 Grad. Das heißt, da müssen wir noch ein bisschen arbeiten. Wir müssten diesen Winkel hier unten kennen, den Kleinen hier, den müssten wir kennen. Dann kämen wir weiter. Wir kennen von diesem Dreieck nur einen Winkel, wir können nicht die Winkelsumme verwenden. Also wie kriegen wir den nächsten Winkel heraus? Da jetzt alle 3 Seiten bekannt sind, könnte man den Kosinussatz anwenden. Ich zeige das eben, wie man das macht. Ich fange mit 9,2 an. 9,22=(Die eine Seite zum Quadrat)+(die andere Seite zum Quadrat, nämlich 20,22)-2×(eine Seite, 13,8)×(andere Seite, 20,2)×cos(der Winkel, der dieser Seite, 9,2, gegenüberliegt, also der hier - den nenne ich jetzt einfach Alpha). Hier ist Alpha, da ist er. Jetzt muss ich das alles hier umstellen. Dann kann ich das direkt ausrechnen, dann rechne ich cos^-1, dieses ganze Zeugs hier, was dann da herauskommt und erhalte den Winkel. Ich kann das aber auch machen, indem ich den Sinussatz anwende. Und zwar weiß ich ja: sin(Alpha)÷sin(122 Grad)= Jetzt muss ich die beiden Seiten, die diesen Winkeln hier gegenüberliegen, durcheinander teilen. Das ist der Sinussatz. Es liegt Alpha gegenüber: 9,2. Und es liegt dem Winkel 122 Grad, die Seite a gegenüber und die haben wir schon ausgerechnet, die ist 20,2. Auch das kann ich jetzt, in dem ich ×sin(122) rechne und dann den Arcus-Sinus verwende bzw. sin^-1 auf beiden Seiten, dann bekomme ich Alpha heraus. Alpha=sin^-1, also die Umkehrfunktion des Sinus von: [9,2×sin(122 Grad)]÷20,2 Und von diesem Wert, der da herauskommt, muss ich sin^-1 bilden bzw. Arcus-Sinus und dann bekomme ich den Winkel Alpha heraus. Nur eben zum Mitdenken, der müsste bei 22,7 Grad liegen. Wenn ich jetzt den Winkel Alpha habe als 22,7 Grad, dann nehme ich: 132 Grad-22,7=109,3 Grad. Dann haben wir den Winkel von da bis da. Der Winkel hier, das ist 109,3. Ich habe hier auch auf die erste Stelle gerundet, kann man sich auch überlegen, müsste man im Sachzusammenhang noch einmal überlegen, ob da die erste Stelle reicht. Jetzt habe ich, wenn ich den Winkel habe - nun habe ich wirklich die Seite und a auch als 20,2 und den eingeschlossenen Winkel - dann geht es mit dem Kosinussatz weiter. Dann kann ich nämlich hier b ausrechnen. b2=20,22+14,22-2×20,2×14,2×cos(109,3 Grad). Wenn man das alles ausrechnet und dann noch die Wurzel zieht, dann hat man b und b - für dich zum Vergleich, wenn du das alles nachrechnen möchtest jetzt mit deinem Taschenrechner - ist dann ungefähr 28,2. Das ist die ganze Rechnung dazu und das ist schon eine ziemlich allgemeine Aufgabe. Wichtig ist, dass du dir bei solchen Aufgaben immer überlegst: Welche Grundsituation habe ich gegeben? Wenn ich keine Dreiecke habe, baue ich mir Dreiecke, indem ich irgendwelche Hilfslinien einziehe. Die Dreiecke müssen nicht rechtwinklig oder sonst etwas sein. Du kannst einfach irgendwelche Dreiecke frei wählen. Wichtig ist nur, dass du entweder von einem Dreieck, was dann entsteht, 2 Winkel und eine Seite gegeben hast oder du hast 2 Seiten und den eingeschlossenen Winkel gegeben. Dann kannst du mit Sinussatz und Kosinussatz den ganzen Rest ausrechnen. Das sind diese Grundaufgaben. Die habe ich gezeigt und du kannst auch mithilfe des Kosinussatzes und des Sinussatzes Winkel, die du noch nicht hast, ausrechnen, wenn die Seiten gegeben sind - auch das ist eine Grundsituation. Wenn du diese Grundsituation erkennst, sehen kannst, wenn du diese Struktur vorher hast, dass du diese Grundsituation suchst in diesen Aufgaben, dann kann eigentlich nicht viel schief gehen. In dem Sinne: viel Spaß damit, tschüss.

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3 Kommentare
  1. Default

    Sehr gutes Video zum Üben, nur eine Frage: Hätte man das nicht von Anfang an mit dem Satz des Pythagoras berechnen können ?

    Von Kdashdot, vor mehr als einem Jahr
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    Sie haben mir gerade mein Schulisches Leben gerettet ,,.... DANKE !!!

    Von Ctentomas, vor fast 2 Jahren
  3. Default

    Die Videos laden einfach nur die ganze Zeit aber werden nicht abgespielt zeit dem das Design umgeändert wurde gehen die Videos nichtmehr bitte ändert das um oder ich kündige das Abo!

    Von Niklas A.Hoffmann, vor fast 4 Jahren