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Transkript Sinussatz – Herleitung

Hallo, in diesem Video möchte ich einen der elegantesten Sätze der Trigonometrie vorstellen, den Sinussatz. Wir betrachten ein Dreieck, in dem alle Größen bekannt sind, und stellen uns folgende Frage: In welchem Verhältnis stehen die Größen zueinander? Auf der Suche nach der Antwort konstruieren wir die Höhe auf der Seite c. Die Sinuswerte von α und β lassen sich als Quotienten von Gegenkathete und Hypotenuse ausdrücken. sinα=h/b und sinβ=h/a. Auflösen nach h ergibt: h=b×sinα und h=a×sinβ. Diese beiden Werte für h kann man natürlich gleichsetzten. Dividiert man nun durch sinα×sinβ, so bekommt man a/sinα=b/sinβ. Wenn wir die Höhe auf die Seite b konstruieren, so bekommen wir nach unseren Überlegungen die folgende Gleichheit: a/sinα=c/sinγ. Zusammen ergeben diese beiden Gleichungen den Sinussatz. Wir betrachten nun ein Anwendungsbeispiel: Es seien die Seiten a und b sowie der Winkel α eines Dreiecks gegeben. Gesucht werden die Größen der restlichen Seiten und Winkel. Als Erstes verwendet man den Sinussatz zur Berechnung von β. Danach gilt: a/sinα=b/sinβ. Dies lässt sich umformen zu: sinβ=b×sinα/a. Wenn wir nun die nummerischen Werte einsetzten, so bekommen wir den Sinuswert für den Winkel β, der ist ungefähr 0,56. Dies entspricht einem Winkel von ungefähr 34°. Eigentlich gibt es noch einen zweiten Winkel mit diesem Sinuswert. Nämlich β'=180°-β≈146°. Dieser Wert kommt aber nicht infrage, da sonst die Winkelsumme des Dreiecks die vorgeschriebenen 180° überschreiten würde. Den Winkel γ erhält man nun mithilfe der Winkelsumme eines Dreiecks. γ=180°-α-β. Für α und β können wir auch nummerische Werte einsetzen. Damit bekommen wir einen Winkel von ungefähr 76°. Die Seitenlänge c ermitteln wir wieder mit dem Sinussatz. Dies wäre hier auch mit dem Kosinussatz möglich. Es gilt: a/sinα=c/sinγ. Wenn wir nun diese Gleichung nach c auflösen, bekommen wir: c=a×sinγ/sinα. Für die Werte a, γ und α können wir nun nummerische Werte einsetzen. Dann bekommen wir die Länge der Seite c. Die ist ungefähr 5,16 cm. Soviel zum Sinussatz. Danke für Ihr Interesse und weiterhin viel Spaß bei Mathe.

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10 Kommentare
  1. Default

    Das müsste Schritt für Schritt erklärt werden. Die Videos differieren, was das Tempo der Darstellung angeht.

    Von Jolana1949 1, vor etwa einem Jahr
  2. Default

    Ich hab das sehr gut verstanden... super erklärt !!!

    Von Oyvars, vor mehr als einem Jahr
  3. Default

    Also arkussinus davon oder

    Von Carlalexander Bock, vor mehr als 2 Jahren
  4. Default

    ich habe es verstanden
    du musst einfach schift sinus von 0,56 im Taschenrechner machen dann kommt 34° raus ganz easy

    Von Therealfixboy, vor fast 3 Jahren
  5. Default

    Wie kommt man von 0,56 auf 34° ?
    Ich verstehe das nicht :(

    Von Akarama, vor etwa 3 Jahren
  1. Default

    die stimme ist komisch

    Von Liv 1, vor mehr als 3 Jahren
  2. Handy2012 384

    Tut mir leid aber ich versteh das nicht so genau!!! =(

    Von Kim M., vor fast 4 Jahren
  3. Default

    habe kein bild mhh :(

    Von Alen, vor mehr als 6 Jahren
  4. Default

    Ich versteh nur Bahnhof... ^^

    Von Wiking, vor fast 7 Jahren
  5. Default

    Gut erklärt!!!
    Danke für die guten Beiträge!
    XD

    Von L. M., vor etwa 7 Jahren
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