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Transkript Sinussatz – Erklärung und Herleitung

Hallo! Bisher hast du wahrscheinlich die Trigonometrie auf rechtwinklige Dreiecke angewendet, und zwar nur auf rechtwinklige Dreiecke. Da wird es dich freuen, dass wir jetzt den Sinussatz machen. Der Sinussatz gilt nämlich nicht nur in rechtwinkligen Dreiecken, sondern er gilt in allen Dreiecken. Das heißt, du hast jetzt gleich die Möglichkeit, die Trigonometrie auf alle möglichen Dreiecke anzuwenden. Ist das nicht toll?   Ich sage dir, wie das geht. Wir haben den Sinussatz, und der sieht so aus: Wir haben hier ein Dreieck, mit den Seiten a, b, c. Es gibt auch hier den sinα (α ist hier der Winkel, und der hat einen Sinus). Wir teilen die Seite a durch sinα. Wir können auch b durch sin β teilen (β ist hier bei der Ecke B) - und das ist gleich a geteilt durch sinα. Und man ahnt jetzt schon fast wie es weiter geht: Wir können auch c durch sinγ teilen (γ ist hier an der Ecke C).

Und das ist der Sinussatz: a/sinα = b/sinβ = c/sinγ   Die Ersten beiden kann man sich hoffentlich gut merken - a und α haben ja den selben Vokal, b und β den gleichen Konsonanten, c und sinγ bleiben dann nur noch übrig. Und weil die Herleitung dieses Satzes so einfach ist, möchte ich grad eben auch noch zeigen. Ich möchte mal diesen Teil herleiten, der andere funktioniert dann genauso.   Und das geht, indem wir in dieses Dreieck eine Höhe einzeichnen, zum Beispiel hier die Höhe hc. Die Höhe hc geht von der Ecke C senkrecht auf die Seite c. Das hier ist ein rechtwinkliges Dreieck - der Höhenfußpunkt hier bildet mit A und C ein rechtwinkliges Dreieck, da ist der rechte Winkel. Deshalb gilt - das kennst du jetzt von den rechtwinkligen Dreiecken (so hast du wahrscheinlich bisher die Trigonometrie kennengelernt) - dass der sinα gleich ist dem Quotienten aus Gegenkathete (das ist hier hc) und Hypotenuse. Also: sinα = hc/b Das übrigens kann man jetzt umformen, indem man diese ganze Gleichung mit b multipliziert: b×sinα = hc   Das sollte dich hier nicht weiter aus der Ruhe bringen - ich kann das Gleiche machen mit b und sinβ. Hier ist β, der sinβ ist der Quotient aus der Gegenkathete (die Gegenkathete von B ist hier in diesem rechtwinkligen Dreieck, das von Höhenfußpunkt, C und B gebildet wird) und Hypotenuse. Da ist die Gegenkathete, also die Höhe, also: sinβ = hc/a Das ist sinβ, und auch das kann ich umformen, indem ich nämlich beide Seiten mit a multipliziere, und dann steht da: a×sinβ=hc   Wir wissen jetzt dass a×sinβ=hc, außerdem ist b×sinα = hc. Das bedeutet, dass b×sinα und a×sinβ gleich groß sind, denn beide sind ja gleich hc. Also darf ich die Beiden auch gleich setzen. Dann steht da also: b×sinα = a×sinβ Und wenn ich diese Gleichung durch sinα und sinβ teile, haben wir hergeleitet:    b/sinβ = a/sinα   Wenn du jetzt das mit b/sinβ = c/sinγ herleiten möchtest (das geht zum Beispiel auch), oder auch a/sinα = c/sinγ, brauchst du in dem Dreieck einfach andere Höhen. Du kannst dir ja Gedanken machen und das vielleicht mal üben mit einer anderen Höhe. Die Herleitung funktioniert fast identisch.    Damit ist alles zu dem Satz gesagt. Anwendungen folgen natürlich auf dem Fuße. Bis dann, viel Spaß, tschüss!    

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3 Kommentare
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    Endlich verstanden! Eine super Herleitung! Top

    Von Lasse Schleker, vor 8 Tagen
  2. Default

    Einfach klasse ! Und sehr verständlich erklärt! Bitte machen Sie weitere (mind.) 1000 Mathe-Videos!
    Jetzt macht mir Mathematik wieder Spaß!!! :)

    Von Mo275behappy, vor fast 4 Jahren
  3. Bei den hausaufgaben

    Brillant!

    Von Wolfgang S., vor fast 7 Jahren