Advent, Advent, 1 Monat weihnachtliche Laufzeit geschenkt.

Nicht bis zur Bescherung warten, Aktion nur gültig bis zum 18.12.2016!

Textversion des Videos

Transkript Sinussatz – Anwendungen

Hi, in diesem Video zeig ich euch, wofür man den Sinus- / Kosinussatz gebrauchen könnte. Also ich zeige euch ein paar Anwendungen dafür. Sind vielleicht nicht so die Alltäglichsten, aber dafür braucht man es halt. Wusstet Ihr zum Beispiel, dass Napoleon seinen militärischen Erfolg der Mathematik verdankt? Er war bei der Artillerie und da hat er auch einige wichtige Berechnungen durchgeführt. Machen wir dafür mal ein Beispiel: 2 Artilleriekanonen haben einen Abstand von 56 m. Sie peilen beide ein Ziel an. Die linke Kanone zielt auf das Ziel in einem Winkel von 37,2°. Die rechte Kanone peilt das Ziel in einem Winkel von 48,5° an. Wir wollen jetzt berechnen, wie weit die Kanonen jeweils vom Ziel entfernt sind. Diesen Abstand können wir mit dem Sinussatz berechnen. Betrachten wir dafür mal ein normales Dreieck mit den Seiten a, b, c und den jeweiligen Winkeln schrieben und vergleichen das jetzt einmal. Wir haben in diesem Beispiel c gegeben, genauso wie die Winkel α und β. Um den Sinussatz anzuwenden, bräuchten wir jetzt noch γ. Das kriegen wir aber ganz leicht raus. Ihr wisst ja, die Summe aller Winkel in einem Dreieck beträgt 180°. Das jetzt noch nach α auflösen, α und β einsetzen und wir erhalten γ = 94,3°. So und jetzt können wir a und b bzw. den Abstand von der linken und der rechten Kanone mittels Sinussatz bestimmen. Das ganze jetzt nach b auflösen und als Nächstes müssen wir einsetzten. O.k. und das können wir jetzt ganz leicht mittels Taschenrechner bestimmen ...b beträgt also 42 m. Nach demselben Verfahren rechnen wir a, bzw. den Abstand der rechten Kanone aus. Wir verwenden den Sinussatz, stellen diesen nach a um und jetzt noch einsetzen. Dann das Ganze in den Taschenrechner eingeben und wir erhalten 34 m. Der Abstand unserer rechten Kanone ist also 34 m. Damit wären wir auch schon fertig. Kommen wir zur nächsten Aufgabe. Ein Flugzeug wird gleichzeitig von den Punkten P und Q aus angepeilt. Die Punkte haben einen Abstand von 100 m, die beiden Punkte befinden sich übrigens auf dem Boden und wir wollen jetzt die Höhe des Flugzeuges bestimmen. Wir wissen übrigens, die Winkel α und die Winkel β und das ist im Prinzip auch schon alles was wir brauchen, um das Ganze auszurechnen. Ok, ich geb euch noch einen kleinen Tipp: Wenn ihr auf einer geraden Linie einen Halbkreis habt, dann beträgt die Summe der Winkel,hier jetzt α und β, bzw. sagen wir einfach α' und β' also α'+β'=180°. Die Summe der Winkel in einem Halbkreis ergibt, genau wie die Summe der Winkel in einem Dreieck, 180°. Damit können wir auch jetzt unseren Winkel oben links bestimmen, nennen wir ihn mal gamma, denn ihr wisst ja: Kommen wir zur Lösung. Zu aller erst bestimmen wir den Winkel zwischen α und β. Also diesen hier. Übrigens β + unser neuer Winkel würden gleich 180° ergeben und 180°- 20,2° macht 159,8°. Damit können wir auch jetzt unseren Winkel oben links bestimmen, nennen wir ihn mal γ, denn ihr wisst ja: Die Summe aller Winkel in einem Dreieck, wir nehmen jetzt dieses Dreieck hier, beträgt =180°. Das ganze nach γ auflösen, α einsetzen und das Ganze ausrechnen. Dann erhalten wir 1,9°. Mit diesem Winkel können wir jetzt die Seite a bestimmen. a ist übrigens der Abstand zwischen dem Punkt Q und dem Flugzeug. Das können wir mittels Sinussatz machen.Wir wählen jetzt die Seite c, also der Abstand zwischen P und Q, unsere 100 m und ihr kennt ja den Sinussatz: a÷sinα, also die Seite im Verhältnis zu ihrem gegenüberliegenden Winkel in einem Dreieck=c÷sinγ. Das Ganze jetzt nach a auflösen, alles einsetzen,...ok, a beträgt also 947 m und damit haben wir jetzt aus dem linken Dreieck alles was wir brauchen. Jetzt können wir ganz einfach h berechnen. Ihr wisst ja: Der Sinus eines Winkels, wir nehmen jetzt sinβ, also im rechten Dreieck und der Sinus dieses Winkels ist = Gegenkathete/Hypotenuse. Unser rechtes Dreieck ist nämlich ein rechtwinkliges Dreieck. Also können wir hier einfach das anwenden und müssen uns nicht mit Sinussatz und Kosinussatz herumschlagen. Gut, β haben wir gegeben, a haben wir gegeben, wir lösen das Ganze jetzt nach h auf, h=a×sinβ), jetzt noch einsetzen und ausrechnen. h beträgt also 327 m. o. k. und damit wären wir auch schon fertig. Die Höhe unseres Flugzeugs beträgt also 327 m. Kommen wir zur letzten Aufgabe für heute. Eine Kanone möchte gerne auf ein Schiff feuern. Es ist bekannt, dass dieses Schiff 40 m lang ist. Die Kanone bzw. vom Punkt der Kanone kann man das Schiff im Winkel α sehen. α ist also sozusagen der Blickwinkel der Kanone. α beträgt übrigens 6,5°. Damit die Kanone gezielt feuern kann, möchte sie den Abstand zum Schiff wissen. Bezeichnen wir diesen einmal als d. Im Prinzip ist, das auch schon alles was wir wissen müssen, um das zu berechnen. Ein kleiner Tipp noch, d ist eine Winkelhalbierende von α. Achso, ein kleiner Tipp noch, diese beiden Winkel, sind rechte Winkel. Dann viel Spaß. Na gut, kommen wir zur Lösung, im Prinzip brauchen wir nicht alles betrachten, sondern es reicht, wenn wir uns auf dieses rechte Dreieck hier beziehen. Dieses rechtwinklige Dreieck hat die beiden Katheten d und a/2, und da d eine Winkelhalbierende war, wissen wir, dass der Winkel unten α/2 beträgt, also 3,25°. Wenn wir das alles wissen, können  wir d ganz leicht mit dem tan ausrechnen. Der tan eines Winkels ist= Gegenkathete÷Ankathete. Das Ganze lösen wir jetzt nach d auf, setzen alles ein und tippen alles in den Taschenrechner ein. Dann erhalten wir, dass d, der Abstand von der Kanone zum Schiff =352 m beträgt. Das war es dann auch schon. Ich hoffe es hat Euch gefallen.

Informationen zum Video
5 Kommentare
  1. Default

    Sehr gut erklärt

    Von Poppelt481, vor 6 Monaten
  2. Default

    okay

    Von Niewerth 1, vor 12 Monaten
  3. Default

    Exaktere Zeichnung und schönere Schrift in Zeilen ist hilfreich für Schüler, die sich mit Lernen schwer tun!

    Von Ursulabien, vor fast 2 Jahren
  4. Default

    löl leider habe ich keine 200 Wattboxen am Laptop.Video sinnlos wenn man nichts hört.grrr

    Von Silver 11, vor etwa 2 Jahren
  5. Default

    bisi leise oder ?

    Von Silver 11, vor etwa 2 Jahren