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Sinussatz 06:29 min

Textversion des Videos

Transkript Sinussatz

Hallo liebe Freundinnen und Freunde der Mathematik, ich lade euch ganz herzlich ein zum Video "der Sinussatz". Und nun zu den Lernvoraussetzungen: Ihr solltet die Begriffe Dreieck, rechter Winkel und einfache geometrische Begriffe gut beherrschen. Als Zweites sollte euch die Definition des Sinus bekannt sein. Ich denke, dass das Video geeignet ist, für Schülerinnen und Schüler, die die 10. Klasse im ersten Schulhalbjahr besuchen. Für die Visualisierung des Problems empfiehlt sich die Zeichnung eines Dreiecks. Die Seiten a, b und c sind in den Farben Pink, Blau und Grün markiert. Die gleichen Farben haben die Höhen ha, hb und hc. Die entsprechenden Winkel α, β und γ habe ich Orange gehalten. Erinnern wir uns an die Definition des Sinus. Der Sinus eines Winkels im rechtwinkligen Dreieck ist der Quotient aus Gegenkathete zu Hypotenuse. Somit können wir einige Gleichungen formulieren. (1) sin(α)=hc/b (2) sin(β)=hc/a (3) sin(β)=ha/c (4) sin(γ)=ha/b (5) sin(γ)=hb/a (6) sin(α)=hb/c Wir arbeiten nun unter der Dreieckszeichnung weiter. Wir nehmen als Erstes die Gleichungen 1 und 2 und stellen sie jeweils nach hc um und erhalten: Erste Zeile: (1a) hc=b×sin(α) (2a) hc=a×sin(β). Zweite Zeile: wir nehmen nun die Gleichungen 3 und 4 und stellen sie nach ha um. Wir erhalten: (3a) ha=c×sin(α) (4a) ha=b×sin(γ). Dritte Zeile: wir nehmen nun die Gleichungen 5 und 6 und stellen sie nach hb um. Wir erhalten: (5a) hb=a×sin(γ) (6a) hb=c×sin(α). Wir setzen nun die linken Seiten der Gleichungen (1a) und (2a), also über hc, gleich und erhalten - schaut bitte nach rechts: b×sin(α)=a×sin(β) Wir dividieren nun beide Seiten der Gleichung durch sin(β) und anschließend beide Seiten der Gleichung durch sin(α) und erhalten darunter - rechts: b/sin(β)=a/sin(α) Genauso verfahren wir nun mit den Gleichungen (3a) und (4a), wir setzen sie über ha gleich und erhalten - schaut nach rechts: c×sin(β)=b×sin(γ) Wir dividieren nun beide Seiten der Gleichung durch sin(β) und anschließend durch sin(γ). Wir erhalten: c/sin(γ)=b/sin(β) Das gleiche Verfahren verwenden wir indem wir die Gleichungen (5a) und (6a) über hb gleichsetzen. Wir machen rechts unten weiter. Wir erhalten: a×sin(γ)=c×sin(α) Nach Division beider Seiten durch sin(γ) und anschließend durch sin(α) erhalten wir - ganz unten rechts: a/sin(α)=c/sin(γ) Die für uns nun wichtigen Gleichungen habe ich mit (7), (8) und (9) gekennzeichnet und mit roten Kästchen eingerahmt. Ich wische noch das linke untere Viertel für das Endergebnis heraus, dann können wir uns Gleichung (7) anschauen. Wenn wir in dieser Gleichung beide Seiten vertauschen, dann erhalten wir: a/sin(α)=b/sin(β) Schauen wir uns Gleichung (8) an und vertauschen die Seiten, dann sehen wir: b/sin(β)=c/sin(γ) Gleichung (9) liefert noch eine zusätzliche Bestätigung. Damit erhalten wir als Endergebnis: a/sin(α)=b/sin(β)=c/sin(γ) Der Quotient aus der Länge einer Seite und dem Sinus, des gegenüberliegenden Winkels, ist in einem Dreieck konstant. Ich bedanke mich für eure Aufmerksamkeit. Vielleicht hat euch diese Herleitung etwas Freude bereitet und ihr habt eine Inspiration bekommen. Ich wünsche euch alles Gute, tschüss.

Informationen zum Video
4 Kommentare
  1. 001

    Du musst mal ein Video schauen, das du benötigst.

    Von André Otto, vor 9 Monaten
  2. Default

    Sorry aber leider hat mir das Video nicht wirklich weiter geholfen, aber trotzdem Danke.

    Von Ahlefeldt, vor 9 Monaten
  3. 001

    Das Video ist 4 1/2 jahre alt. Es wurde mit einfachen Mitteln nach "bestem Wissen und Gewissen" erstellt. Der Aufwand war relativ gering. Es geht also auch so.
    Vielen Dank für das Lob!
    Alles Gute

    Von André Otto, vor fast 2 Jahren
  4. Griechenland '13 197

    Ich fand dieses Video sehr hilfreich! Sie haben sehr deutlich gesprochen, es sehr schön und bunt beschrieben! Danke

    Von Anna Lisa M., vor fast 2 Jahren