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Transkript Sinusfunktion – Punktsymmetrie

Hallo! Der Graph der Sinusfunktion ist punktsymmetrisch, und zwar punktsymmetrisch zu jedem Nullpunkt. Klasse, oder? Also, da muss man gar nicht viel sagen. Hier ist ein Nullpunkt, da ist einer, da ist einer, da und da, und so weiter. Wenn ich jetzt mal den Nullpunkt hier rausgreife, dann bedeutet Punksymmetrie, wenn ich zum Beispiel diese Hälfte des Graphen jetzt hier mal raushebe, um 180° drehe, und da wieder hinlege, dann sind die beiden Graphen deckungsgleich, das bedeutet Punktsymmetrie. Ich kann natürlich den auch so herum, um 180 ° drehen und hier hin legen. Auch dann sind die beiden Hälften des Graphen deckungsgleich. Und das formuliert man folgendermaßen: Wir gucken erst mal, was haben wir hier für eine Stelle auf der x-Achse? Wir haben k×π. Für k kann man irgendeine ganze Zahl einsetzen, also 0, 1, -1, 2, -2, und so weiter. Wenn ich für k zum Beispiel -1 einsetze, dann bin ich bei -π das ist hier, das ist eine Nullstelle. Immer wenn ich für k eine ganze Zahl einsetze und dann mit π multipliziere, komme ich zu einer Nullstelle auf der reellen Achse. Von hier aus gesehen kann man jetzt +π rechnen - das wäre dann, wenn π positiv ist, in der Richtung - und da den Funktionswert bilden. Da gucken wir uns an, was passiert auf der Seite? Wir gehen wieder zu k×π. Das ist hier, wenn wir für k -1 einsetzen, wie da auch schon, und rechnen dann -x, also falls x positiv ist, geht es dann hier hin. Ich male das auch noch mal eben auf. Hier ist zum Beispiel x, also +x, und hier ist -x. Das schreibe ich mal darüber: -x. Das bezieht sich auf die Sache hier. Beide Funktionswerte sind Gegenzahlen voneinander. Hier ist der Funktionswert bei k×π+y, hier ist der Funktionswert von  k×π-y, und wenn ich diesen Funktionswert hier jetzt mit -1 multipliziere, dann ist er hier. Da ist dieser Funktionswert, der dann rauskommt und die beiden sind dann gleich. Das ist der Sinn der Punktsymmetrie. Oft kannst du in Büchern folgende Situation vorfinden: Für k wird einfach 0 eingesetzt und dann steht hier einfach sin(x)=-sin(-x). Wie du dich davon überzeugen kannst, dass das wirklich stimmt, möchte ich mal eben an diesem Zeigerdiagramm zeigen. Auch dafür ist das gut. Das kann man ruhig mal machen. Wir gehen zu einem Nullpunkt, hier, oder da, ist völlig egal. Ich nehme mal den hier, weil meistens von dem ausgegangen wird. Hier ist also ein Nullpunkt und wir rechnen jetzt 1-mal x hinzu und einmal ziehen wir x ab. Ich möchte jetzt für x eine negative Zahl einsetzen und das möchte ich mit dem gelben Zeiger machen. Der gelbe Zeiger muss dann in die mathematisch negative Richtung rotiere, also hierum gehen. Wenn x negativ ist, dann rotiert dieser Zeiger hierum, und wenn x negativ ist, dann ist -x natürlich positiv und der Zeiger rotiert dann in die mathematisch positive Richtung, also da hin. Ich glaube, jetzt kann man das sehen. Wir können dann x betragsmäßig größer werden lassen. Jetzt rotieren die Zeiger hier so weiter. Ich muss das auch vernünftig machen hier. Jeweils bekommen wir Funktionswerte, die also sich gegenüberliegen. Die eine Zahl ist positiv, die andere ist negativ und betragsmäßig sind die beide gleich. Das kann ich hier rotieren lassen, wie ich will. Es werden immer hier die Gegenzahlen auftauchen. Das ist die Gegenzahl von der und das ist die Gegenzahl von der und ich glaube anschaulich ist das ziemlich klar. Da wir hier die Sinus- und Kosinusfunktion elementar definiert haben, möchte ich hier auch gar nichts weiter beweisen an dieser Stelle. Ich glaube, damit ist die Punktsymmetrie so gut es geht klar geworden. Viel Spaß damit. Tschüss.

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1 Kommentar
  1. Default

    Sehr gutes Video! Aber die Textversion ist interessant. Siehe Zeile drei: "Punksymmetrie". Habe sehr gelacht :D

    Von Johanna Wurziger, vor etwa 2 Jahren