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Transkript Sinusfunktion – Funktionsgleichung aus Graph ermitteln

Hallo! Es gibt viele Anwendungsaufgaben im Zusammenhang mit trigonometrischen Funktionen. Da soll man aus einem Funktionsgraphen die Gleichung der Funktion oder den Funktionsterm dieser trigonometrischen Funktion bestimmen. Und ich möchte hier jetzt mal allgemein zeigen wie das funktioniert. Das kommt in vielen verschiedenen Zusammenhängen vor, deshalb steht hier nichts - normalerweise sind hier an den Achsen natürlich irgendwelche Werte gegeben. Da kann man was ablesen. Ich habe keine hingeschrieben, weil eben je nach Zusammenhang diese Werte natürlich verschieden sind. Ich möchte hier auch nur kurz zeigen wie das funktioniert und nicht allzu viele Begründungen dazu liefern.   Wir fangen an mit der Sinusfunktion. Das könnte also eine Sinusfunktion sein und wir wissen, wie die Sinusfunktion aussieht - ich hoffe du hast den Graphen von Sinus x im Kopf. Normalerweise muss man ja auch beschreiben, wie man darauf gekommen ist und deshalb zeige ich auch, wie man hier diese einzelnen Schritte aufbauen kann und wie du das dann beschreiben kannst.   Rein zur Taktik bilde ich eine neue Funktion, und zwar die Funktion sin(2πx). Warum? Weil diese Funktion eine Periode von 1 hat. Wir messen ja die Winkel hier - die Argumente von x - messen wir im Bogenmaß, klar. Die sin x - Funktion hat die Periode 2π. Wenn ich mit 2π multipliziere, erhalte ich eine Sinusfunktion, deren Periode 1 ist. Das kann man hier schreiben, wenn man diese Funktion beschreiben soll:  sin(2πx) hat eine Periode von 1. Jetzt möchten wir aber diese Funktion hier modellieren, und da stellen wir fest, dass sie wahrscheinlich keine Periode von 1 hat. Ich mache das mal hier so. Wie kann man eine Periode ablesen? Hier wird ein x-Wert sein, ich sage mal 1, und hier wird auch einer sein, ich sage mal 12, und dann ist die Periode 11. Dann bilden wir eine neue Sinusfunktion, nämlich die Funktion sin((2π/11)x)), und diese Funktion hat jetzt eine Periode von 11. Das war eben die Taktik - erst mit 2π multiplizieren, dann kriegen wir eine Sinusfunktion die eine Periode von 1 hat, und wenn wir diesen Faktor hier durch 11 teilen, kriegen wir wieder eine Funktion, deren Periode 11 ist. Man könnte auch sagen, dass sie hier um den Faktor 2 π gegenüber der Ausgangsfunktion - der Sinusfunktion - gestaucht ist, und diese Funktion ist gegenüber dieser Funktion hier um den Faktor 11 entlang der x-Achse gestreckt und hat deshalb eine Periode von 11.  Dann müssen wir die Verschiebung berücksichtigen. Und zwar wissen wir, dass die normale Sinusfunktion - und ich meine die jetzt hier, die fängt ja hier an, man überlegt sich ja, dass sie im Nullpunkt ja 0 ist, und dann hier diese Schwingung entwickelt. Die stellt man sich jetzt verschoben vor, wir müssen also gucken, wo ist denn das, was normalerweise bei 0 ist, und das ist hier, wo der Bogen losgeht. Und jetzt kann mal gucken, wo das ist, ich rate mal es ist 9. Wir haben eine Verschiebung um 9 in die positive x-Richtung.Jetzt bilde ich eine neue Funktion, nämlich sin((2π/11)(x-9)), und diese Funktion ist um 9 Einheiten in die positive x-Richtung verschoben. Der Fehler, der hier häufig auftaucht, ist, dass man das nicht in Klammern setzt. Es muss in Klammern stehen, sonst ist es nicht diese Verschiebung. Sonst ist es eine andere. Also: Um 9 Einheiten in die positive x-Richtung verschoben ist x-9.  Dann brauchen wir noch diese Verschiebung nach oben. Normalerweise ist bei der Funktion Sinus x ja hier die x-Achse, und jetzt ist die x-Achse eben um diese Strecke parallel zur ursprünglichen x-Achse höher. Um diese Strecke ist die Funktion also nach oben verschoben, und ich sage einfach mal, hier ist jetzt 40 - auch um zu zeigen, dass hier auf x- und der y-Achse nicht die gleichen Einheiten stehen müssen, das geht auch anders. Also sie ist um 40 nach oben verschoben.Dann kann man jetzt sagen, dass diese neue Funktion sin((2π/11)(x-9))+40 eben um diese 40 Einheiten entlang der positiven y-Richtung verschoben ist. Oder hat eine Verschiebung von 40 nach oben - oder wie immer man das formulieren will. Wir sind damit auch fast fertig, wir brauchen bloß noch die Amplitude.  Wir müssen wissen, wie weit so ein Minimum oder so ein Maximum hier von dieser Linie entfernt ist, wie groß der Ausschlag ist. Und wenn hier 40 ist, könnte hier oben 55 sein (das habe ich mir jetzt ausgedacht), also habe ich hier +15 und hier bei -15 die 25. Damit beginnt es hier unten wohl nicht bei 0, aber es gibt auch Skalen, die nicht bei 0 beginnen. Das kann ganz allgemein der Fall sein. Normalerweise hat die Sinus x Funktion ja die Amplitude 1 - also die maximale Auslenkung oder Entfernung des Maximum von der x-Achse, Funktionswert bei Maximum, dann wäre es eben 1. Wenn wir also hier eine Auslenkung von 15 haben, müssen wir halt die ganze Funktion noch mit 15 multiplizieren, und haben dann: 15×sin((2π/11(x-9))+40. Und dann kann man sagen, dass diese Funktion hier um den Faktor 15 entlang der y-Achse gestreckt ist. Damit hat man eine komplette Beschreibung des Vorgehens und kann begründen, warum man auf diesen Funktionsterm kommt und auf keinen anderen.  Viel Spaß damit, tschüss! 

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1 Kommentar
  1. Default

    es wäre schön. wenn sie das ganze etwas weniger "mathematisch" erklären würden

    Von Bayazit06, vor mehr als 5 Jahren