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Transkript Sinusfunktion für alle reellen Zahlen (2)

Hallo! Wir waren schon so weit, dass wir hier eine Welle der Sinusfunktion zeichnen konnten und jetzt kommen noch ein paar Ergänzungen und Erläuterungen dazu. Zum einen müssen wir der Frage nachgehen was passiert, wenn die Zahlen größer werden als diese Zahl hier, 6,28 ist das ungefähr. Was passiert, wenn wir 10 haben oder wenn wir die Zahl 1000 haben. Wie kriegen wir dann einen Funktionswert der Sinusfunktion. Dann nehmen wir wieder die Länge auf der Zahlengeraden. Wir nehmen einen Papierstreifen quasi und legen den dann, in dieser Richtung hier, halt mehrmals um den Kreis, macht ja nix. Und erhalten dann auch wieder einen Punkt auf dem Kreis, irgendwo. Und dieser Punkt hat eine y-Koordinate und diese y-Koordinate ist der Funktionswert der Sinusfunktion, dann an dieser Stelle. Jetzt ist aber ein gewisses Problem hier aufgetaucht, mit den krummen Zahlen. Das kann man ignorieren, wenn man möchte, man kann sich aber auch drüber Gedanken machen. Wir haben nämlich die Situation, dass ja diese Sinusfunktion immer weiter solche Wellen macht. Das geht schön regelmäßig. Aber die Nullstellen hier und die höchsten und niedrigsten Punkte sind bei so krummen Zahlen. Und das ist irgendwie doof, hat man sich gesagt. Also gucken wir mal, wo ist das eigentlich genau. Wir wissen ja, wenn wir diesen Radius hier als Maßeinheit nehmen, dann wissen wir, wie lang die Strecke ist, die einmal ganz um den Kreis führt. Der Kreisumfang ist 2×π×r. Wenn unser r die Maßeinheit ist, dann können wir also für r=1 einsetzen und eine Strecke von 2π, also die Zahl 2π, die wir uns jetzt hier vorstellen, die Zahl 2π passt einmal ganz um den Kreis herum. Ich zeige das eben, weil das viele Leute nicht glauben. Das ist hier 2π, also ca. 6,28, das passt einmal um den Kreis herum. Mit ich nicht so viel hier Fummeln muss, rolle ich den Kreis einfach mal auf dieser Strecke ab. Ja, da ist der Startpunkt und wir sehen, wir sind wieder da angekommen. Das ist einmal der Kreisumfang. Wenn der Kreisumfang also 2π ist, dann kann ich hier einfach mal 2π hinschreiben. Da ist also die Zahl 2π. Wenn ich nur die Hälfte rumgehe, dann ist es 1π. Dann ist hier also die Zahl π. Und wenn ich nur 1/4 des Kreises herumgehe, dann ist hier π/2, oder π durch 2 einfach. Hier ist übrigens, wenn man jetzt 3/4 rumgeht, um den Kreis, dann kommt man zu der Zahl 3/2π. Und das ist hier. Und da ist die tiefste Stelle. Wenn man jetzt 3/2π um den Kreis herumlegt, dann kommt man zu diesem Punkt und der hat den Funktionswert -1. Weil hier der Radius vom Nullpunkt nach unten geht um eine Einheit. Und dann ist hier der tiefste Punkt mit -1 der Sinusfunktion. Und wenn man dann noch 2π mal mehr rumgeht, dann wiederholt sich das wieder und dann hat man viele tiefste Punkte, wenn man immer größere Zahlen einsetzt. Was ist jetzt mit den negativen Zahlen? Da müssen wir uns auch noch drum kümmern. Es wäre ja schön, wenn die Funktion einfach so weiter geht, aber dann muss man sich eben überlegen, kann das sein, was soll das überhaupt. Wir haben angefangen hier, mit diesem Punkt auf dem Kreis und haben die Bogenlänge hier, die dort angegebene Bogenlänge, auf diesem Kreis hier abgetragen und sind zu einem Punkt gekommen. Das haben wir immer in diese Richtung hier gemacht. Diese Richtung, ich zeige es einfach mal ganz plakativ mit der Uhr, weil ich das schon kenne, dass da irgendwelche Diskussionen entstehen. Diese Drehrichtung hier ist gegen den Uhrzeigersinn, so haben wir gedreht. Das ist die mathematisch positive Richtung gegen den Uhrzeigersinn. Die mathematisch negative Richtung verläuft im Uhrzeigersinn, das heißt so rum. Das ist im Uhrzeigersinn. Wenn wir jetzt hier anfangen und z. B. ein Winkel entsteht so rum, dann ist der Winkel negativ. Wir können auch einfach sagen, wir nehmen eine negative Zahl und wickeln sie in dieser Richtung hier um den Kreis herum. Das ist die mathematisch negative Richtung, entsprechend hier der negativen Zahlen. Und man ahnt das schon, wenn man jetzt hierum wickelt, bekommt man das Gleiche, nur eben quasi punktgespiegelt an dem Punkt hier. Es geht erst ins Minus und dann ins Plus. Ich glaube aus Symmetriegründen ist die Sache klar. Ich beweise das gar nicht großartig, warum es dann hier so aussieht, wie es aussieht. Denn letzten Endes, wenn man diese Funktionswerte so bestimmt, dann kommt halt ein solcher Graph heraus. Es ist nicht ganz so schön gelungen. So ein Graph kommt dann heraus und die Begründung dafür ist einfach, man hat das einfach so ausgerechnet. Man legt hier diese Zahlen um den Kreis herum, nimmt die y-Koordinaten der entstehenden Punkte. Wenn man jetzt hier eine Zahl um den Kreis herum legt, dann kommt man zu einem bestimmten Punkt, dieser Punkt hat eine y-Koordinate und diese y-Koordinate trägt man hier ein. Das ist die ganze Situation, wie man hier zu einer solchen Kurve kommt. Die geht hier auch noch weiter, macht genau das Gleiche, was sie dann immer macht, bis in die - Unendlichkeit hinein. Damit haben wir auch den negativen Teil abgehandelt, hier der Sinusfunktion. Damit ist sie auch vollständig. Jetzt möchte ich kurz noch mal zusammenfassen, was wir hier so erlebt haben. Wir haben quasi angefangen oder viele Menschen fangen, wenn sie an die Sinusfunktion denken, damit an, dass sie sich Winkel vorstellen. Weil der Sinus zunächst im rechtwinkeligen Dreieck definiert wurde und deshalb fange ich hier die Zusammenfassung auch mit den Winkeln an. Wir haben Winkel, die aber jetzt im Bogenmaß gemessen werden. Das heißt die Länge, wenn wir jetzt also einen Winkel haben, wir legen den Winkel an den Einheitskreis an, der eine Schenkel liegt auf dem positiven Teil der x-Achse, dann geht der Winkel auf, wir kommen hier zu einem Punkt auf dem Einheitskreis und die Länge dieses Bogens ist jetzt das Bogenmaß dieses Winkels. Das heißt, wir haben zu jedem Winkel ein Bogenmaß. Dieses Bogenmaß ist im Weiteren für uns nur noch irgendeine reelle Zahl. Dann muss ein sich ein bisschen dran gewöhnen, diese reelle Zahl wird dann als Vielfaches von π angegeben, entsprechend dieser Einteilung hier. Die hätte ich hier natürlich auch machen können, kommt später irgendwann. Das ist auch etwas gewöhnungsbedürftig, dass man jetzt Zahlen als Vielfache von π angibt. Dann haben wir die mathematisch positive Richtung, die entgegen des Uhrzeigersinn verläuft, auch da muss man sich vielleicht mal dran gewöhnen. Die mathematisch negative Richtung im Uhrzeigersinn. Und so kommen wir auch zu Funktionswerten hier im negativen Bereich. Normalerweise, wenn man jetzt Dreiecke hat und so etwas, hat man ja keine negativen Winkel. Hier ist das aber möglich aufgrund der mathematisch positiven und negativen Drehrichtung. Dann kommen wir, wenn wir dann schon mal so gedreht haben, so rum oder so rum, kommen wir zu einem Punkt des Einheitskreises. Dieser Punkt hat eine y-Koordinate und die ist dann der Funktionswert, der zu dieser Zahl gehört. Und da gibt es immer wieder eine Verwirrung, da man nämlich den Punkt angibt mit der x- und y-Koordinate. Dieses x, was hier steht und dieses x, was hier steht, die haben nichts miteinander zutun. Oft findet man das in der Literatur, dass das dann angegeben wird. Und deshalb nehme ich das einfach wieder weg. Wir kommen zu einem Punkt, wenn wir eine Strecke um diesen Kreis herumlegen, kommen wir zu einem Punkt. Dieser Punkt, deshalb habe ich das auch so definiert, hat einen Abstand zu dieser horizontalen Achse. Und dieser Abstand ist der Funktionswert an dieser Stelle x, das ist nämlich f(x)=sin(x). Der Funktionswert ist der Abstand zur horizontalen Achse. Das sind so diese Schwierigkeiten, die da vielleicht auftreten können in der Überlegung, in dem dran gewöhnen, an diese neue Funktion. Ich hoffe es wird gelingen, wenn dir das zu kompliziert erscheint, mach das einfach so im Kopf, wie ich das vorgeschlagen habe. Einheitskreis vorstellen, Band drumwickeln, Funktionswert ablesen, dann kommt genau das heraus. Viel Spaß damit, tschüss.

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2 Kommentare
  1. Giuliano test

    @Simonreisbeck:
    Hier wird die x-Achse mit den normalen reellen Zahlen skaliert, damit man erkennen kann, dass der Umfang eines Kreises mit einer Längeneinheit [1LE] eben genau der Zahl Pi entspricht, d.h. der irrationalen Zahl 3,1,415 ... Das könnte man bei einer pi-Skalierung der x-Achse nicht erkennen. Die Skalierung mit Pi vereinfacht das Ablesen der Nullstellen, Hoch- und Tiefpunkte sowie der Periodenlänge der trigonometrischen Funktionen. Je nachdem, was du zeigen möchtest, kannst du die Skalierung auf der x-Achse wählen.

    Von Giuliano Murgo, vor mehr als einem Jahr
  2. Default

    wird die x achsen skallierung nicht in pi angegeben?

    Von Simonreisbeck, vor mehr als einem Jahr