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Transkript Sinus- und Cosinusfunktion – Periodizität

Hallo, hier steht eine wichtige Eigenschaft der Sinusfunktion und auch der Kosinusfunktion. Und zwar ist das die Periodizität. Das heißt, die Sinusfunktion und die Kosinusfunktion sind periodisch, die Funktionswerte wiederholen sich in festen Abständen und so schreibt man das auf. Also die Eigenschaft periodisch zu sein nennt man Periodizität. Und ich les das einfach Mal vor, damit du weißt, wie das ausgesprochen wird: sin(?+k360°)=sin(?), sin(x+k×2Pi)=sin(x), entsprechend natürlich hier Kosinus auch cos(?+k360°)=cos(?), cos(x+k×2Pi)=cos(x) k kann irgendeine ganze Zahl sein. Deshalb schreibt man k, Element von Z, und Z mit dem Doppelstrich hier ist die Menge der ganzen Zahlen. Das ist also 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3 und so weiter. Und jetzt müssen wir uns mal eben überlegen, warum ist das der Fall? Ich werde hier nichts großartig beweisen, weil wir ja die Sinusfunktion und die Kosinusfunktion recht elementar hier besprechen. Und da ist dann auch nicht mehr viel zu beweisen. Da kann man sich vielleicht hier auch mit der Anschauung begnügen. Ich fang mal an mit der Kosinusfunktion, die sieht ungefähr so aus. Ich mach das mit der Kosinusfunktion jetzt, weil es meistens mit der Sinusfunktion gemacht wird. Und, na, da möchte ich mal einen Gegenpol setzen hier. Ja die Kosinusfunktion wird dann schon mal diskriminiert. Und das muss man natürlich vermeiden. Na ja, hier ist es anschaulich schon klar. Du kennst auch die Kosinusfunktion, hast die ja auch im Kopf. Zumindest das Bild dieser Funktion. Die Funktionswerte wiederholen sich. Wenn hier ein Stück, der Funktionswert ist, hier an dieser Stelle, dann ist dieser Funktionswert auch hier noch mal. Er ist zwar hier auch noch mal und hier auch noch mal, da kümmer ich mich jetzt aber nicht drum. Das kommt dann in nem anderen Film. Hier ist der Funktionswert auch noch mal. Und wir wissen, die Kosinusfunktion wie auch die Sinusfunktion braucht 360° bzw. 2Pi, wenn wir in Bogenmaß messen, um einmal ganz durchzulaufen, dann fängt sie quasi wieder von vorne an. Das ist hier also 2 Pi. Entsprechend 360°. Also anschaulich ist das schon mal irgendwie klar. Das geht hier natürlich auch. Ja hier beginnt die Kosinusfunktion auch von Neuem. Schreibe ich noch mal eben dran. Also 2 Pi entsprechend 360°.  Kannst du dir denken. Das ist erst mal damit gemeint. Damit ist außerdem gemeint, dass man hier für k irgendwelche Zahlen einsetzen kann. Ich könnte zum Beispiel für k hier -2 einsetzen. Dann würde hier stehen, wenn ich für ? 30° einsetze, dann würde hier stehen sin(30°-2×360°), -2×360°, dann sind -720°, dann kommen 30° noch hinzu, das sind dann -690° und hier würde also stehen sin(690°)=sin(30°). Ich kann natürlich auch positive Zahlen einsetzen, das ist völlig egal. Hier kann jede ganze Zahl stehen. Die Gleichung ist dann immer richtig. Eine Sache noch zum Verständnis. Wenn wir den Sinus hier am Einheitskreis betrachten und auch den Kosinus am Einheitskreis betrachten, dann wissen wir ja, wir nehmen irgendein Bogenmaß. Also einen Winkel. Legen den hier drum. Bekommen dann einen Punkt heraus, zum Beispiel den hier. Die Strecke von der horizontalen Achse bis zu diesem Punkt, oder man kann auch sagen, die y-Koordinate hier des Punktes hier im Einheitskreis, das ist der Sinus. Und die Strecke zur vertikalen Achse hin, die jetzt negativ zählt, das ist der Kosinus an dieser Stelle. Oder man kann auch sagen, das ist die x-Koordinate des Punktes hier am Einheitskreis. Und ich glaube, dann kann man schnell sehen, wenn ich dieses Band hier verlängere, und zwar um eine Strecke, die genau einmal um den Kreis passt. Dann komme ich zu demselben Punkt. Ich mein, das ist jetzt schon fast albern, was ich hier vormache. Also diese Strecke führt einmal um den ganzen Kreis herum. Und wenn ich dann von diesem Ende aus wieder mein Band hier drumlege. Das nehme ich mal eben weg. Dann komme ich natürlich zum gleichen Punkt wie vorher auch. Jetzt will es nicht. Da war vorher der Punkt, und jetzt hab ich nicht die gleiche Strecke, sondern die Strecke verlängert, um eine Strecke, die einmal ganz rum passt. Ja das hab ich jetzt drum rumgelegt um den Kreis und ich komme zu demselben Punkt wie vorher auch und deshalb sind die Strecken, die sich hier ergeben, oder die Koordinaten am Einheitskreis, auch die gleichen. Und es würde sich auch nichts ändern. Wenn ich ein Band nehme, das doppelt so lang ist, oder dreimal so lang. Das wäre auch egal. Ich würde wieder zum selben Punkt kommen. Ich kann das Band auch in die andere Richtung legen und dann, also jetzt in die negative Richtung, ich leg jetzt einmal -2 Pi darum und nehme dann aber meinen Punkt von vorher. Wickel den hier wieder drum. In die positive Richtung. Und dann komm ich natürlich auch zu dem gleichen Punkt wie vorher auch. Ich glaube, das kann man nicht deutlicher sagen. Das gilt auch für die Sinusfunktion und die Kosinusfunktion, das ist natürlich völlig egal. Ich glaube, deutlicher gehts nicht. Viel Spaß damit. Tschüss.

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1 Kommentar
  1. Default

    Super erklärt!
    Hat mir prima geholfen
    vielen dank

    Von Christin Haaser, vor etwa einem Jahr