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Transkript Sinus, Kosinus, Tangens – Aufgabe (1)

Hallo!   Wir sind in der Trigonometrie bei Sinus, Kosinus und Konsorten und vielleicht hast du dich schon gefragt: Warum macht man das überhaupt? Viele Schüler meinen mit dem "warum": Zu welchem Zweck braucht man das? Oder wie sehen die Anwendungsaufgaben aus, was muss ich rechnen?   Mit Sinus, Kosinus, usw. kannst du Dreiecksseiten berechnen, und zwar Dreiecksseiten, die du vorher nicht berechnen konntest. Das ist neu, das ist eine große Sache, das kommt in Tausenden von Anwendungsaufgaben vor. Früher, als du klein warst, hast du den Satz des Pythagoras gemacht. Beim Satz des Pythagoras brauchtest du 2 gegebene Seiten und konntest die dritte Seite eines rechtwinkligen Dreiecks dann ausrechnen.   Jetzt ist das anders, jetzt ist das neu, jetzt brauchst du nur eine Seite und einen Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks und kannst dann die anderen beiden Seiten auch ausrechnen. Natürlich auch den fehlenden Winkel, aber das ist einfach; Stichwort Winkelsumme im Dreieck. Das ist also kein Problem. Wenn du weißt, es gibt ein rechtwinkliges Dreieck, und eine Seite und einen weiteren Winkel gegeben hast, dazu den 90°-Winkel hast und noch einen weiteren Winkel kennst - dann kannst du die anderen beiden Seiten des Dreiecks ausrechnen, und zwar mithilfe der Trigonometrie. Das möchte ich einmal an einem Beispiel hier zeigen.   Das hier ist ein rechtwinkliges Dreieck. Der gelbe Winkel da soll α heißen und misst ziemlich genau 30°. Wir kennen jetzt schon das Seitenverhältnis der grünen Seite zur roten Seite, wenn wir wissen, dass hier ein rechter Winkel ist (dass es also um ein rechteckiges Dreieck geht), und dass dieser Winkel α hier 30° ist.   Wir wissen, dass sin(30)=½ ist. sin(30) ist also definiert als Gegenkathete geteilt durch Hypotenuse von diesem Winkel aus gesehen ist diese gegenüber liegende Kathete also die Gegenkathete, wir wissen also: Grün durch Rot ist gleich ½.  Bei einem Sinus von 30° geht es, bei einem Sinus von beispielsweise 28° ist es viel komplizierter, und im Vergleich zu dem rechtwinkligen Dreieck das wir hier haben ist die Berechnung des Seitenverhältnisses doch relativ kompliziert. Ich sage jetzt nicht, wie man darauf kommt, wie man das also normalerweise rechnet: Du darfst dieses Seitenverhältnis im Taschenrechner nachgucken.Wenn du also zum Beispiel den Sinus von 28° berechnest, darfst du das gerne im Taschenrechner nachgucken. Du kannst dir das so vorstellen, dass dieser Taschenrechner hier eine Liste in sich hat und er guckt dann für dich nach, wie groß das Seitenverhältnis ist, was also Sinus 28° ist. Dann gibt er hier einen Wert raus und den darfst du gerne abschreiben. So ist das dieses Mal - mit Taschenrechner. Wir wissen bei sin(30°) also dass es ½ ist, und wenn wir dabei zum Beispiel wissen, dass die rote Seite gleich 32 cm ist, dann können wir auch ausrechnen, wie groß diese Gegenkathete ist. Ich schreibe es noch einmal dazu. Sinus bedeutet ja: Gegenkathete geteilt durch Hypotenuse (GK/H). Wenn wir jetzt wissen, dass das Größenverhältnis von Gegenkathete zur Hypotenuse gleich ½ ist, dann können wir quasi direkt ablesen, dass x, also die Gegenkathete, gleich 16 ist - denn 16/32 ist ½. Wenn die Situation komplizierter wird, sieht man das vielleicht nicht unbedingt, und deshalb möchte ich mal zeigen, was du dann stattdessen machen kannst. Du kannst diese Gleichung hinschreiben, ½=x/32, und dich auf den formalen Standpunkt stellen: Hier habe ich eine Gleichung, darin ist eine Variable, ich kann sie also mit Äquivalenzumformungen so umstellen, dass das X alleine steht, und dann den Wert ausrechnen. Um das X hier alleine zu haben, muss ich also auf beiden Seiten ×32 rechnen. Auf der linken Seite steht dann  ½×32 (also 16), auf der rechten Seite kürzt sich 32 und 32 zu 1, da bleibt also nur noch das X stehen. Und damit wissen wir, dass diese grüne Seite gleich 16 cm ist - und zwar deshalb, weil wir wussten, dass das hier ein 30°-Winkel ist, das Seitenverhältnis dieser beiden Seiten kennen, und wissen, dass diese Hypotenuse gleich 32 cm ist. Damit soll es hier genügen, weitere Anwendungen kommen. Bis dann, tschüss!

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3 Kommentare
  1. 11950717 876793489034717 815013284 n

    bester und freundlichster tutor den ich bis jetzt gesehen habe!

    Von Benjamin F., vor 11 Monaten
  2. Default

    endlich verstanden!!danke :)

    Von Alicia Henke, vor mehr als 4 Jahren
  3. Spellbookofjudgment

    toll!

    Von Bilal Baroud, vor fast 7 Jahren