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Transkript Sinus – Definition

Hallo! Wir wissen schon, wir haben hier 2 rechtwinklige Dreiecke, da sind die rechten Winkel, also 2 90°-Winkel, hier sind 2 37°-Winkel. Weil das so ist, dass hier 2 37°-Winkel sind, wissen wir, dass diese beiden Dreiecke ähnlich sind, denn dann sind alle Winkel gleich. Wir wissen auch über ähnliche Dreiecke, von den Strahlensätzen her wissen wir das, dass alle ähnlichen Dreiecke gleiche Seitenverhältnisse haben. Hier also am Beispiel gezeigt, wenn ich die grüne Seite durch die gelbe teile, das heißt also Seitenlänge grün geteilt durch Seitenlänge gelb, dann bekomme ich das Gleiche raus, als wenn ich diese Seitenlänge grün geteilt durch diese Seitenlänge gelb rechne. Dieses Seitenverhältnis in rechtwinkligen Dreiecken mit einem 37°-Winkel, das hat einen besonderen Namen, es nennt sich Sinus37 und ist ungefähr 0,6. Bevor ich zur allgemeinen Definition komme, möchte ich das eben noch an einem anderen Beispiel hier zeigen, und zwar haben wir hier auch 90°-Winkel. Und jetzt habe ich hier 2 Dreiecke, die haben hier beide einen fast genau 30°-Winkel. Da es sich um rechtwinklige Dreiecke mit einem 30°-Winkel handelt, wissen wir auch, wie groß dieser Winkel ist, er ist nämlich 60° wegen der Winkelsumme im Dreieck - alle Innenwinkel im Dreieck zusammen ergeben 180° - und damit wissen wir auch, wie groß dieser Winkel ist. Und das Seitenverhältnis hier von grün zu rot, also wenn ich hier die Seitenlänge grün geteilt durch Seitenlänge rot rechne, bekomme ich dasselbe heraus wie hier Seitenlänge grün durch Seitenlänge rot, weil es sich hier eben um 2 ähnliche Dreiecke handelt. Dieses Seitenverhältnis von grün zu rot in diesem Fall hat auch einen besonderen Namen, es nennt sich Sinus30°, weil hier ein 30°-Winkel ist und dieses Seitenverhältnis ist genau 0,5, das heißt, die grüne Seite ist genau halb so groß wie diese rote Seite. Gilt für dieses Dreieck natürlich auch, weil es ja ähnliche Dreiecke sind und in ähnlichen Dreiecken alle Seitenverhältnisse gleich groß sind. Das soll mal reichen mit Beispielen hier. Ich möchte gerne definieren: Wir haben ein rechtwinkliges Dreieck. Das male ich mal eben auf. Da könnte der rechte Winkel sich befinden, den malt man so auf. Und wir haben hier einen Winkel α und wir haben besondere Namen für die Seiten in einem solchen Dreieck hier. Und zwar: Wir wissen schon, in rechtwinkligen Dreiecken gibt es eine Hypotenuse, das ist die Seite, die den rechten Winkel gegenüber hat. Der rechte Winkel liegt gegenüber dieser Seite, gegenüber der Hypotenuse. Und wir haben auch einen besonderen Namen für diese Seite hier - wir haben hier diesen Winkel α, von diesem Winkel α aus gesehen ist hier eine Kathete, diese Kathete liegt dem Winkel α gegenüber und deshalb können wir sagen, dass von α aus das hier die Gegenkathete ist, weil sie gegenüberliegt. Diese Kathete hier, in dem Fall die blaue, liegt an dem Winkel α dran, sie liegt an kann man auch sagen und deshalb heißt diese Kathete - es ist ja auch eine Kathete, weil es ein rechtwinkliges Dreieck ist, nicht wahr - diese Kathete heißt Ankathete. Immer vom Winkel α aus gesehen, von diesem Winkel hier oder von dem hier - würden wir es von dem Winkel aus sehen übrigens, dann ist es natürlich anders, dann ist wäre grün hier die Ankathete. Das zeig ich noch mal kurz, von dem Winkel hier ist grün die Ankathete, weil grün an diesem Winkel dranliegt, blau ist die gegenüberliegende Kathete, also die Gegenkathete und rot ist nach wie vor die Hypotenuse, die gibt es ja nur einmal im Dreieck, die ändert sich nicht. Und dieses Seitenverhältnis, was sich aus diesem Winkel α hier ergibt, also wenn dieser Winkel hier 30° ist z. B. - das hat jetzt einen besonderen Namen, nämlich sinα, abhängig davon, wie groß α ist. Und dieses Seitenverhältnis berechnet man, indem man die Gegenkathete durch die Hypotenuse teilt. Und das ist jetzt die allgemeine Definition des Sinus in rechtwinkligen Dreiecken: Gegenkathete geteilt durch Hypotenuse, jeweils sind natürlich die Seitenlängen gemeint, das ist der Sinus von α. Ja und damit ist das komplett definiert, hängt natürlich von α ab. Ich glaube, ich habe alles gesagt dazu. Dann hör ich einfach auf mit der Definition. Ich zeige dann noch in den nächsten Filmen die Definition von Kosinus und Tangens. Bis dahin. Viel Spaß, tschüss.  

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5 Kommentare
  1. Sarah2

    @ Enasara98: Die längste Seite im rechtwinkligen Dreieck ist immer die Hypotenuse, die außerdem auch dem rechten Winkel gegenüberliegt. Ankathete und Gegenkathete ändern sich je nachdem, welchen der beiden anderen Winkel du betrachtest: Die Seite, die an den betrachteten Winkel angrenzt, ist die Ankathete. Die Seite, die dem betrachtetem Winkel gegenüberliegt, ist die Gegenkathete. Ich hoffe, ich konnte dir helfen.

    Von Sarah Kriz, vor mehr als einem Jahr
  2. Default

    wie weiß man welche seite die ankathete und welche die kathete ist?

    Von Enasara98, vor mehr als einem Jahr
  3. Default

    Schon kapiert! :-)

    Von M Fit4life, vor etwa 2 Jahren
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    Warum Sin(30)-0,5? Wo doch die grüne Seite durch die rote Seite geteilt wurde? Schreibt man dann nicht Sin(60)-0,5? Kapier ich nicht!

    Von M Fit4life, vor etwa 2 Jahren
  5. Default

    Ich hatte wieder alles anders verstanden als alle anderen und konnte einfach gar nichts mit dem Thema anfangen. Jetzt geht es viel besser, danke! Sie sind so cool! xD

    Von Selma Reinhold, vor mehr als 3 Jahren