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Transkript Schnittpunkt zweier Geraden – Beispiel (1)

Hallo! Wir haben einen Würfel mit eingehängtem Dreieck. So sind die Daten dazu und so sieht das aus. Das ist das Würfelmodell dazu mit dem eingehängten Dreieck und in dieser Aufgabe geht es um Folgendes: Wir wissen, dass sich alle Raumdiagonalen des Würfels im Punkt (2; 2; 2) schneiden. Zeigen Sie das exemplarisch am Schnittpunkt zweier Raumdiagonalen. So ungefähr müsste die Formulierung sein. Was kann man da machen? Wir brauchen erst mal die Geradengleichungen zweier Raumdiagonalen. Wir können uns auch erst mal vorstellen. Ich nehme eine Raumdiagonale so zum Beispiel, ja, die geht vom Nullpunkt hier zum Punkt (4; 4; 4), und dann möchte ich noch diese hier dazu nehmen, die vom Punkt (4; 0; 0) aus losgeht und hier oben ankommt beziehungsweise geht da natürlich weiter, geht hier durch den Punkt H. Und dazu muss ich jetzt dann halt Gleichungen aufschreiben. Ich hoffe, das ist halbwegs sichtbar so, aber du kannst dir auch Raumdiagonalen glaube ich vorstellen. Die Gerade 1, die erste Gerade, die Raumdiagonale, hat also folgende Form: Das sind alle x mit, ja, hier unten ist ja der Punkt (0; 0; 0), da kann ich den Stützvektor also weglassen, wenn das der Nullvektor ist, und ich schreibe einfach λ×... Ja, wo führt der denn hin, was ist denn hier der Richtungsvektor? Ich guck einfach mal. Er geht 4; 4; 4 zu dem Punkt hin, das könnte der Richtungsvektor sein. Damit ich kleinere Zahlen habe, nehme ich (1; 1; 1). Der Richtungsvektor ist genau so gut. Dann haben wir die Gerade 2. Da ist es nicht ganz so einfach, wir haben da einen echten Stützvektor, nämlich hier den Punkt (4; 0; 0)+μ× der Richtungsvektor, und auch da manche ich mir das einfach. Ich rechne jetzt hier nicht richtig, also diesen Punkt minus diesen Punkt und dann kommt das raus. Ich stelle mir Folgendes vor: Ich gehe auf der x-Achse eine Einheit zurück, ich gehe auf der y-Achse eine Einheit in die positive Richtung, auf der z-Achse eine Einheit in die positive Richtung und dann komme ich hier wieder bei diesem Stab an, bei dieser Geraden komm ich da wieder an. Das ist also der Richtungsvektor (-1; 1; 1). Ja. Bei solchen einfachen Fällen kann man das ruhig so machen. Und jetzt sollen wir zeigen, dass sich diese beiden Geraden im Punkt (2; 2; 2) schneiden. Das sind ja 2 Raumdiagonalen, also zumindest die Geraden, die zu diesen Raumdiagonalen gehören, und dazu müssen wir einfach diese beiden Geraden gleichsetzen. Das mach ich jetzt mal. Und zwar haben wir dann λ×(1; 1; 1)=(4; 0; 0)+μ(-1; 1; 1). Daraus entstehen 3 Gleichungen. Ich kann das ja hier koordinatenweise hinschreiben. Also haben wir hier λ in der ersten Koordinate =4-μ. Zweite Gleichung ist λ= 0+μ×1=μ. Und die dritte Gleichung lautet genau so. Das ist schön einfach und da brauch ich auch jetzt nicht die großen Systeme bemühen, wie man Gleichungssysteme mit 3 Variablen löst. Ich weiß hier schon, dass λ=μ, das steht hier schon da, und naja, was muss ich für λ und μ einsetzen, damit λ=-4μ? Ich muss für λ und μ 2 einsetzen. So, und das ist noch nicht der Schnittpunkt. Ich muss μ und λ jeweils in die beiden Gleichungen einsetzen, um den Schnittpunkt zu bekommen. Ich fange mal mit λ an. Wenn ich also für λ 2 einsetze und dann ×(1; 1; 1) rechne, dann kommt (2; 2; 2) raus und da sehe ich schon, dass ich richtig gerechnet habe. Du kannst selbstverständlich noch das μ in die zweite Geradengleichung einsetzen, das mache ich jetzt nicht. Ich gehe davon aus, dass das richtig war. Die Zahlen waren so einfach. Für mich ist das jetzt erledigt. Tschüss!

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