Advent, Advent, 1 Monat weihnachtliche Laufzeit geschenkt.

Nicht bis zur Bescherung warten, Aktion nur gültig bis zum 18.12.2016!

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Transkript Schnittpunkt Gerade-Ebene

Hallo! Wir haben hier einen Würfel mit eingehängtem Dreieck und hier sind die Daten dazu. Das habe ich schon mal erläutert, das mache ich jetzt nicht noch mal. Hier ist das lustige Modell dazu. Und jetzt geht es darum, den Schnitt einer Geraden und einer Ebene zu berechnen, bzw. den Durchstoßpunkt der Geraden durch diese Ebene zu bestimmen. Und da habe ich mir Folgendes ausgedacht: Es soll also hier um die Dreiecksebene gehen, die sich da hier so in diesem Würfel befindet. Natürlich auch außerhalb davon. Sie verläuft ja hier so entlang. Und die Raumdiagonale, die hier vom Punkt A, da steht A, zum Punkt G führt. Das ist in diesem Fall sehr schnell und sehr einfach zu machen, weil die Daten, die Zahlen, die wir hier benutzen, alle sehr einfach sind. Normalerweise macht man das folgendermaßen: Man hat hier also eine Geradengleichung mit Stützvektor und Richtungsvektor, der Stützvektor heißt hier (r1 r2 r3), der Richtungsvektor (s1 s2 s3). Was hab ich denn da gemacht, eigentlich? Der Richtungsvektor soll eigentlich r heißen und der Stützvektor soll s heißen. Hier heißen sie jetzt umgekehrt. Keine Ahnung, was mich da geritten hat. Macht aber nichts. Jetzt heißen sie halt so. Wir haben eine Ebene in Koordinatenform, da steht also a×x1+b×x2+c×x3=d. Dann, wenn man also diese Situation hier allgemein gegeben hat, müsste man also koordinatenweise die Angaben hier aus der Geradengleichung, also die 1. Koordinate hat ja die Form r1+λ×s1, hier in diese Koordinatenform einsetzen, und zwar für x1, das habe ich hier gemacht. Dann steht dann also da, a×(r1+λ×s1), dann, die 2. Koordinate setzt man dann hier für x2 ein, das heißt also b×(r2+λ×s2). Für die 3. Koordinate natürlich das Gleiche, das soll dann gleich d sein. Hier bekommt man dann eine Gleichung, in der nur noch das λ unbekannt ist, und die löst man dann nach λ auf und kann dann dieses λ hier in diese Geradengleichung einsetzen und einen bestimmten Punkt herausbekommen. Das ist der Durchstoßpunkt. Bei uns, in unserer Situation, ist das aber alles viel, viel einfacher. Das erledigt sich quasi durch Hinkucken. Und zwar haben wir die Ebene in Koordinatenform, die Dreiecksebene, das haben wir schon an anderer Stelle bestimmt. Die lautet x, ja, ich halte mich jetzt hier mal an x ,y ,z und nicht an x1, x2, x3, wie man es nennt, ist ja eigentlich egal. Also, x+y+z=4. Das ist die Koordinatenform der Ebene, in der dieses Dreieck liegt. Als Gleichung für diese Raumdiagonale haben wir Folgendes: Das ist die Gerade g, um die es jetzt geht, die besteht aus einem Vektoren x^-> für die gilt: Stützvektor brauchen wir hier. Der ist, ich kann auch (4 4 4) nehmen, hier, nehme aber (0 0 0), dann kann ich ihn gleich weglassen. Also, (0 0 0) wird weggelassen, +λ×, ja, und was ist der Richtungsvektor? Ich gehe einfach 4 nach Vorne, 4 zur Seite, 4 nach Oben. Also, (4 4 4) könnte ein Richtungsvektor sein. Da der Richtungsvektor (1 1 1) die gleiche Richtung hat, nehme ich einfach den. Und dann muss ich jetzt nur noch für x, y und z diese 3 Koordinaten einsetzen. Die heißen jetzt alle λ. λ×1, λ×1, λ×1. Das bedeutet, wenn ich das jetzt hier einsetze, in diese Ebenengleichung, erhalte ich λ+λ+λ=4, woraus natürlich folgt, dass λ=4/3 ist. Ich hoffe, das muss ich nicht weiter erklären. Das siehst du auch so. λ=4/3 setzte ich jetzt hier ein und kriege den Durchstoßpunkt, der heißt dann also xd für Durchstoßpunkt, Schnittpunkt, sag ich einfach mal, also xs hat dann die Koordinaten, wenn ich hier für λ also 4/3 einsetze, (4/3 4/3 4/3). Das ist der Punkt. Man hätte es auch noch schneller machen können, eigentlich. Ich habe auch viel geredet dabei. Aber hier war wirklich nicht viel zu tun. So etwas kommt auch im Abitur vor. Ist dann immer so ein Geschenk für ein paar Punkte nebenbei. Viel Spaß damit. Tschüss!

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4 Kommentare
  1. Felix

    @Eugenia P.: Das ist womöglich ein technisches Problem. Bitte logge dich bei sofatutor aus und schließe deinen Browser (Firefox, Safari, Internet Explorer ...). Stelle sicher, dass alle Fenster deines Browser auch wirklich geschlossen sind. Öffne ihn dann erneut und logge dich wieder bei sofatutor ein und versuche es erneut.
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    Von Martin Buettner, vor 20 Tagen
  2. Default

    Gibt es noch alternative Videos zu Schnittpunkten bei Gerade und Ebene?

    Von Eugenia P., vor 24 Tagen
  3. Default

    Das Video spielt bei mir nicht ab ...

    Von Eugenia P., vor 24 Tagen
  4. Default

    Bei 2:41 sagten Sie, dass in der Gleichung Lamda die einzige Unbekannte ist und wir dementsprechen nach Lamda auflösen können. Welche Werte werden für a, b, c eingesetzt?

    Von Jess2empress, vor fast 5 Jahren