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Transkript Scheitelpunkt ohne Scheitelpunktformel (1)

Hallo liebe Freundinnen und Freunde der Mathematik, herzlich willkommen zum Video Scheitelpunkt ohne Scheitelpunktformel (1). Ihr werdet es sicher schon erraten haben, es handelt sich hier um Scheitelpunkte von Parabeln, von grafischen Darstellungen, von quadratischer Funktionen. 2 deren Vertreter möchte ich einmal darstellen, eine sei nach oben geöffnet, die andere nach unten geöffnet. Dann sei der Scheitelpunkt der roten Kurve SR, der Scheitelpunkt der blauen Kurve SB. Ganze Generationen von Schülerinnen und Schüler wurden nun fast in den Wahnsinn getrieben, um diese Scheitelpunkte zu bestimmen und das ohne Differenzialrechnung in den Klassenstufen 9 und 10. Wie gehen sie ran? Ja richtig, sie suchen die Scheitelpunktsformel. So, wir wollen heute versuchen, die Aufgabe zu lösen, ohne diese Formel zu verwenden. Wir werden schrittweise vorangehen, von einfachen bis zu komplizierteren Fällen und am Ende werden wir sehen, dass wir auch in schwierigen Fällen Erfolg haben werden. Ich möchte die wichtigsten Lernvoraussetzungen angehen. Als Erstes solltet ihr über quadratische Funktionen bescheid wissen, das heißt: a) die Normalparabel kennen b) ihr solltet die Funktion f(x)=x2+px+q kennen c) ihr solltet mit der Nullstellenbestimmung vertraut sein d) ich solltet euch schon mal mit dem Bestimmen der Scheitelpunktsformen auseinandergesetzt haben e) ihr solltet die Scheitelpunktformel kennen f) ihr solltet sir Funktion f(x)=ax2+bx+c kennen Als 2. solltet ihr mit Termumformung und des Lösen quadratischer Gleichungen vertraut sein. So, dann beginnen wir einmal mit dem einfachsten Fall. Ich habe in einem Koordinatensystem den Graphen der Funktion f1(x)=x2, ihr kennt diese Funktion. Der Graph dieser Funktion ist die Normalparabel, sie hat den Scheitelpunkt S(0/0).

Wir wollen nun diese Normalparabel verschieben. Wir nehmen dafür die Funktion f2(x)=x2-1. Im Vergleich zur Normalparabel iste der Graph dieser Funktion, hier mit lila Farbe gekennzeichnet, um 1 in Richtung der y-Achse verschoben. Nun wollen wir eine Verschiebung der Normalparabel entlang der x-Achse bewerkstelligen. Wir schreiben mit grüner Farbe: f3(x)=(x-2)2. Der Graph dieser Funktion ist um +2 entlang der x-Achse im Vergleich zur Normalparabel verschoben. Wir können die Scheitelpunkte der beiden letzten Graphen sehr einfach ablesen. Sie betragen für lila S(0/-1) und für grün S(2/0). Nun wollen wir den Graphen der Normalparabel sowohl in Richtung der x-Achse als auch in Richtung der y-Achse verschieben. Wir erhalten die Funktionsgleichung f4(x)=(x-2)2-1. Wir haben bei Hellblau sozusagen lila und grün miteinander kombiniert. Der Scheitelpunkt des Graphen der letzten Funktion ist leicht ablesbar. Er beträgt (2/-1). Das Leben könnte so schön sein und wir könnten sagen, wir haben die Aufgabe gelöst, aber so ist es nicht. Die letzte Form ist bereits die Scheitelpunktsform und es gibt andere Darstellungsweisen für quadratische Funktionen und denen wollen wir uns nun widmen. Inzwischen habe ich noch einmal ein Koordinatensystem frisch vorbereitet und wähle zur Untersuchung der Funktion f(x)=x2-5x+6. Ich möchte nun zeigen, wie man ausgehend von dieser Funktionsgleichung die Koordinaten des Scheitelpunkts bestimmt. Zunächst ermittelt man die Nullstellen, man setzt f(x)=0. Nun verwendet man die p-q-F. Wir erhalten x1,2=5/2±\sqrt(5/22-6)). Wir rechnen weiter, nächste Zeile =5/2±\sqrt(25/4-24/4)) Wir haben die 5/2 in Nenner und Zähler quadriert und aus den -6 einen Bruch gemacht, in der im Nenner ebenfalls eine 4 steht. Wir machen weiter in der 2. Zeile: =5/2±\sqrt(1/4)) 3.Zeile: x1,2=5/2±1/2 Wir erhalten somit als Lösung der quadratischen Gleichung x1=3 und x2=2 jeweils einmal unterstrichen. Soweit ist alle klar, aber es ist noch unklar, worauf wir eigentlich hinaus wollen. Und nun setzt die eigentliche Idee ein. Wir wissen nämlich, dass Parabeln symmetrisch sind. Demzufolge befindet sich die x-Koordinate des Scheitelpunktes genau in der Mitte zwischen den beiden Nullstellen x1 und x2. Sie ist gewisser Maßen von beiden das arithmetisches Mittel. Somit erhalten wir, mit rot gekennzeichnet, xs=x1+x2/2, wir setzen ein und erhalten xs=3+2/2=5/2=5/2 oder wer es so besser mag, 2,5. Andererseits wissen wir aber, dass es sich bei der Funktion um eine eindeutige Abbildung. Das heißt, wenn wir xs ermittelt haben, können wir durch Einsetzen des Wertes in der Funktionsgleichung den dazu gehörigen Wert ys bestimmen. Also, ys=f(xs) f(5/2)=(5/2)2-5×5/2+6. Blau geschrieben darunter, geschrieben=25/4-50/4+24/4=-1/4=-0,25 (wir haben den gemeinsamen Nenner 4 geschaffen). Wir scheuen uns nur noch einmal an, wie dieses grafisch aussieht. Wir haben den Scheitelpunkt S erhalten. Die x-Koordinate beträgt 2,5, die y-Koordinate -0,25. Die Nullstellen kennen wir, sie liegen bei 2 und 3. Durch Anlegen der Kurvenschablone erhalten wir den Graphen S der dazugehörigen Funktionsgleichung f(x)=x2-5x+6. Aber, ja, ich habe diese knarrende und ständig unzufriedene Stimme gehört. Es gibt noch andere Fälle, wo dieses Verfahren nicht funktioniert, aber Fortsetzung folgt.

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3 Kommentare
  1. 001

    ys erhält man durch Einsetzen von xs in die Funktionsgleichung und Ausrechnen.
    Die zweite Frage verstehe ich nicht.
    A. O.

    Von André Otto, vor etwa 2 Jahren
  2. 7 img 1864

    wie haben sie ys heraus bekommen ?? wie kamen sie auf den rechenweg????

    Von Li Don De M., vor etwa 2 Jahren
  3. Default

    danke

    Von Reggi15, vor etwa 6 Jahren