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Transkript Scharen von Exponentialfunktionen – Extrema

Wir haben eine Funktionenschar. Diese Funktionenschar enthält Funktionen, die Kettenlinien sind. Darüber haben wir schon gesprochen. Wir wissen auch, dass die Funktionen dieser Funktionenschar symmetrisch zur y-Achse sind. Und jetzt geht es darum: Wo sind die Extrema? Vielleicht hat ja jede Funktion nur ein Extremum, aber es sind ja mehrere Funktionen, deshalb ist die Frage: Wo sind die Extrema dieser Funktion? Da das Kettenlinien sind und da wir bei den Aufgaben mit den Brücken sind. Also wir haben Hängebrücken und die haben Tragseile, die so aussehen, wie die Kettenlinien. Wir vermuten jetzt natürlich, dass das Minimum bei =0 ist. Aber das müsste man jetzt noch nachweisen. Und zwar indem man einmal die notwendige und hinreichende Bedingung aufschreibt. Die notwendige Bedingung ist, dass die erste Ableitung =0 ist. Als Erstes erstellst du die Ableitung f´a,c(x). Wie bist du darauf gekommen? Das ist die Faktorregel, d. h. der Faktor bleibt einfach stehen. Und dann kann man hier die Klammer ableiten. Und zwar mit der Kettenregel, es ist eine verkettete Funktion. Innere Funktion ist c×x. Abgeleitet ist das c. e hoch Exponent ist die äußere Funktion und bleibt beim Ableiten gleich, deshalb steht hier dann wieder e hoch innere Funktion, also ecx. Und bei diesem ist wieder die Kettenregel angewandt worden, wobei die innere Funktion ein Minuszeichen enthält und wobei man dann beachten muss, dass das Minuszeichen mit abgeleitet wird. Und jetzt können wir das c ausklammern zur Vereinfachung. Wie jeder dann sieht, kann man c kürzen, weil c eben =0 ist, sonst würde das hier sowieso keinen Sinn machen. Habe ich jetzt vergessen zu sagen: a und c sind natürlich ?0. Wenn a 0 wäre, dann hätten wir gar keine Kettenlinie. Wenn c 0 wäre, dann auch nicht. a und c sollen positiv sein, das brauchen wir gleich noch, sonst hätten wir auch keine vernünftige Hängebrücke. Ich schreibe immer gern erst die zweite Ableitung ab und setzte dann erst die erste Ableitung =0. Also das hier ist die zweite Ableitung, weil hier das c wieder auf die Erde kommt und das ist jetzt +, weil - mal - + ergibt. Fast dasselbe wir vorher. Dann können wir hier wieder c ausklammern und das wäre dann die zweite Ableitung. Damit wir nun das Extremum bestimmen können, setzten wir die erste Ableitung =0. Und zwar haben wir dann: a/2((ecx)-(e^-cx))=0 Dann können wir einfach durch den Faktor, der davor steht, teilen. Dann fällt dieser weg und dann fallen auch die Klammern weg. Dann bringen wir -e und -cx auf die andere Seite, indem man +e^-cx rechnet. Dann zieht man erst den ln. Dann steht dort cx=-cx und dann durch c teilen. Dann steht dort x=-x. Und dann kann man das Ganze noch weiter machen, indem man +x rechnet. Dann steht dort 2x=0 und das dann durch 2 teilt. Und dann steht dort nichts anderes als x=0. Das ist jetzt keine Überraschung, dass x=0 ist. Wie gesagt, wenn man sich die Brücke vorstellt: Die verläuft so und ist achsensymmetrisch diese Kettenlinie, dann muss sie natürlich am tiefsten Punkt bei der y-Achse das Minimum haben. Was hierbei vielleicht noch wichtig ist, dass man das natürlich noch einmal in die zweite Ableitung setzt und dass man hier bedenkt, dass e0=1. Jetzt muss man für die hinreichende Bedingung natürlich noch einmal schauen, ob die zweite Ableitung negativ oder positiv ist: a×c/2((ec0)+e^-c0)) Und hier kommt dann ein Fehler auf, dass dann öfter die Leute sagen: Das ist dann alles 0, wenn ich 0 einsetze. Eben nicht! Weil e0 nämlich 1 ist. Dann steht da a×c/2(1+1) 1+1=2, dann können wir das kürzen. Bleibt a×c übrig. Und weil du ja eben sagtest, dass a und c nicht 0 sind und positiv sind, hat man hier einen Wert, der größer 0 ist und somit handelt es sich um ein Minimum oder in dem Fall Tiefpunkt. Was ich hier noch zu der Sache ecx=e^-cx zeigen wollte. Man hätte hier eigentlich schon sehen können, dass diese Gleichung für 0=x erfüllt sein kann, nur zur Veranschaulichung. Wenn es natürlich um die Rechnung geht, dann muss man das natürlich sowieso ausrechnen. Ich kann nicht sagen, dass ich das schon sehe und dann reicht das schon. Wenn man sich hier einmal die Funktion mit ecx vorstellt mit positivem c, dann sieht die ungefähr so aus. Und die Funktion e^-cx sieht dann so aus. Sie kreuzen sich auf der y-Achse bei x=0. Nur da haben diese beiden dann den gleichen Funktionswert.

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1 Kommentar
  1. Default

    wie heißt der song am anfang vom video?

    Von Jenseicher, vor etwa 3 Jahren