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Transkript Scharen gebrochenrationaler Funktionen – Verschiebung und Streckung

Hallo, hier ist eine rationale Funktion f(x)=x2+2x-4/x-2. Das ist der Graph dieser Funktion, so ungefähr zumindest. Die Nullstellen dieser Funktion x1 und x2 befinden sich bei -1±\sqrt5. Also hier ist ungefähr -1, +\sqrt5 ist hier, -\sqrt5 ist da. Und darauf bezieht sich jetzt die Frage oder die Aufforderung, die Aufgabe sieht jetzt so aus: Verändern Sie den Funktionsterm so, dass die y-Koordinaten der Extrema gleich bleiben, die Nullstellen sich aber bei -2 und 0 befinden. So, das ist die Lage, was kann man da machen? Erst mal muss man verstehen, was ist überhaupt gefragt. Wir wissen, wo die Nullstellen sind und die sollen sich jetzt bei -2 und 0 befinden und da muss man jetzt halt drauf kommen, dass, wenn die Nullstellen so aussehen wie hier, dann sind sie ja symmetrisch zur Stelle -1. Die Stelle -1 auf der x-Achse. Beide Nullstellen haben von der Stelle -1 auf der x-Achse den Abstand \sqrt5. Wenn sie jetzt bei -2 und 0 sein sollen, haben sie auch beide den gleichen Abstand von der Stelle x=-1. Das bedeutet, wir müssten quasi die Funktion schmaler oder breiter machen, irgendwie so verändern. Du kennst das von den Parabeln, wenn du eine Parabel in Scheitelpunktform mit dem a da irgendwie multiplizierst, dann wird die breiter oder schmaler. Das müsste jetzt hier auch so ähnlich funktionieren. Die y-Koordinaten der Extrema sollen gleich bleiben. Was soll das? Hier soll man halt erkennen, dass es nicht ausschließlich um die Extrema geht, es ist einfach gemeint, dass man diese ganze Funktion hier auf der x-Achse verschieben kann und auf der x-Achse schmaler und breiter, oder überhaupt breiter und schmaler machen kann. Dadurch ändern sich aber die Funktionswerte markanter Punkte wie z. B. der Extrema. Also die y-Werte dieser Extrema ändern sich nicht, weil die Funktion ja nur breiter, schmaler gemacht wird oder so hin und her verschoben wird. Es wird ja nicht so verschoben, dann könnten sich die y-Werte ändern. Das bedeutet also, es ist irgendwie auch klar, welche Methoden wir jetzt zur Verfügung haben, um diesen Funktionsterm zu verändern und da können wir uns mal daran erinnern, wie war das denn früher mit den Parabeln, wie haben wir das den gemacht. Also wir hatten die Scheitelpunktform, die lautet ja A×(x-d)2+e und das -d, manchmal steht auch +d da, ist ja egal, das war also die Verschiebung des Scheitelpunktes auf der x-Achse und das A vor der Klammer, also A×(x-d)2, dieses A sagte etwas darüber aus, wie schmal oder breit die Parabel ist und wenn das A=1 war, dann war es die Normalparabel. Und das A sagt aber etwas darüber aus, ob die Funktion, also ob die Parabel nach oben oder nach unten geöffnet ist, aber das können wir uns hier sparen, wir nehmen jetzt nur mal quasi in Gedanken für das A positive Werte, weil das jetzt hier im Moment nicht darum geht, die Funktion umzukehren, dann würde sich ja hier die y-Werte der Extrema ändern, wenn wir die so an der x-Achse spiegeln würden und das wollen wir nicht, deswegen können wir uns auf die positiven Werte beschränken. Wenn du jetzt an diese Aufgabe ran gehst, dann probierst du ja etwas aus, vielleicht multiplizierst du das x jeweils mit einer Zahl, weil du ja weißt, also das muss irgendwie schmaler oder breiter werden, damit hier diese Abstände nicht mehr \sqrt5 sind, sondern damit sie 1 sind. Und dann stellst du mit Schrecken fest ... da kenn ich einen Zungenbrecher zum Erschrecken, und zwar: Schleimige Schleimschnecken, die an Schleimschnecken schlecken, erschrecken, weil zum Schrecken der Schnecken Schleimschnecken nicht schmecken. Naja, wollt ich nur eben gesagt haben. Also, stellt also mit Erschrecken fest, dass immer, wenn du das x mit einer Zahl ungleich 1 multiplizierst, dann verändert sich auch die Position der Nullstelle. Die Nullstellen sind dann nicht mehr symmetrisch zu -1, sondern sie sind woanders. Und das wollen wir nicht haben und deshalb kann man sich folgende Taktik überlegen. Man verschiebt die ganze Parabel um 1 nach rechts, dann liegen beide Nullstellen symmetrisch zum Punkt 0. Wenn wir dann das x mit einer Zahl multiplizieren, jeweils hier in dem Term, wird das Ganze schmaler oder breiter, das müssen wir uns noch überlegen, aber dieser Symmetriepunkt der bleibt ja gleich, denn der ist bei 0, und wenn man 0 mit einer Zahl multipliziert, bleibt das Ergebnis gleich 0. Wenn wir das dann in der richtigen Breite haben, dann können wir das Ganze wieder zurückverschieben und dann klappt das auch. Und das möchte ich dann mal zeigen, wie das funktioniert. Das habe ich hier schon mal vorbereitet. Das ist die Rechnung dazu. Also, den Funktionsterm hast du gerade gesehen, jetzt ist er schon weg. Wir rechnen x-1 jeweils für jedes x hier. Wenn wir das so machen, dann verschiebt sich der gesamte Graph um 1 Einheit nach rechts. Also ich denke du kennst das von den Parabeln, wenn man da x+1 immer gerechnet hat, dann ist es nach links verschoben, und wenn man x-1 rechnete, ist es nach rechts verschoben. Also quasi immer in die Gegenrichtung. Das ist hier nichts anders, also wenn man jeweils statt x, x-1 hinschreibt, ist das Ganze um 1 Einheit nach rechts verschoben. Dann können wir uns noch mal überlegen, mit welcher Zahl müssen wir jetzt jedes x multiplizieren, damit die Abstände der Nullstellen zum Punkt 0 nicht \sqrt5, sondern 1 betragen. Man kann sich das an einfachen Zahlen überlegen. Mal angenommen, wir haben eine Funktion, die verläuft z. B. so, sieht ein bisschen aus wie eine Parabel, ist jetzt alles egal. Mal angenommen, die hat die Nullstelle bei 2, es ist jetzt egal, ob das eine Parabel ist oder nicht, also Nullstelle ist bei 2. Ich möchte jetzt, dass die Nullstelle bei 1 ist. Und nicht bei 2. Was kann ich tun? Ich kann x mit 2 multiplizieren. Jedes x, was in diesem Funktionsterm vorkommt, kann ich mit 2 multiplizieren, denn wenn ich dann für das x 1 einsetze, muss ich ja diese 1 erst mit 2 multiplizieren, und dann rechne ich den Funktionsterm weiter aus und dann hab ich also quasi eine 2 eingesetzt und erhalte eine Nullstelle. Die Nullstelle, die vorher eben auch bei 2 war. Der Funktionsterm wird dann 0. Würde ich mit 0,5 multiplizieren, also mit ½, würde sich die Nullstelle bei 4 befinden und zwar deshalb, wenn ich jetzt 4 einsetze in den neuen Funktionsterm, in dem jedes x mit ½ multipliziert wird, dann wird ja aus der 4 erst eine 2 und wenn ich mit der 2 im Term weiterrechne, erhalte ich wieder eine Nullstelle. D. h. das x wäre dann die Nullstelle, wäre dann an der Stelle 4 und nicht bei 1. Also das ist meistens das Problem, dass man quasi so umgekehrt denken muss und oft ist der Fehler eben da, dass Schüler 0,5 einsetzen, statt 2. In unserem Fall ist das so, wir haben 2 Nullstellen, die sich symmetrisch zum Nullpunkt befinden und sie haben den Abstand \sqrt5. Das bedeutet, wenn die jetzt den Abstand 1 haben sollen, muss ich jedes x mit \sqrt5 multiplizieren, da und da und da, denn dann erhalte ich 0, falls ich für x 1 einsetze, denn diese 1 wird ja dann zunächst mit \sqrt5 multiplizieren und dann rechne ich quasi wie hier weiter, nur, dass da dann eben nicht 1 steht, sondern \sqrt5. Jetzt wollten wir aber die Nullstellen nicht symmetrisch zum Nullpunkt haben, sondern wir wollten sie symmetrisch zum Punkt -1 haben. Das bedeutet, ich muss jetzt zu jedem x, was hier steht, noch mal +1 addieren. Denn wenn ich zu jedem x 1 addiere, verschiebt sich der gesamte Graph um 1 Einheit nach links, das habe ich hier gemacht, jeweils nur das x immer +1 rechnen, also nicht hier das gesamte Produkt \sqrt5×x, also zu diesem Produkt 1 addieren, das wäre falsch, man muss nur zu jedem x 1 addieren. Deshalb setzte ich das hier auch in Klammer und da auch und dann entsteht also der richtige Funktionsterm. Da ist er. Ich habe den noch ein bisschen umgeformt, das ist jetzt weiter vielleicht nicht so berauschend, da kommt viel Formalkram raus, sag ich jetzt mal so. Ich hätte den auch noch weiter umformen können hab ich dann festgestellt, als dann hier die Folie zu Ende war. Ich hätte das hier noch mit binomischer Formel auflösen können, es sind ja hier 3 Summanden drinnen, trotzdem geht das. Ich glaub, das muss ich nicht weiter erklären. Aber viel schöner wird das nicht. Das, was rauskommt, ist vielleicht kein schöner und knackiger Term, aber wir haben erreicht, dass wir die Nullstellen jetzt bei 0 und -2 haben und dass sich die y-Koordinaten der Extrema nicht verändert haben. Viel Spaß damit, tschüss.

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