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Transkript Scharen gebrochenrationaler Funktionen – Verhalten an Definitionslücken

Hallo! Hier ist eine rationale Funktionenschar. Sie lautet: fk(x)=(x2+2x+k)/(x-2). Wir wissen schon, dass diese Funktionenschar bei 2 nicht definiert ist. Deshalb ist der Definitionsbereich gleich alle reellen Zahlen außer der 2. Wir möchten nun wissen: Wie ist das Verhalten der Funktion in der Nähe dieser Definitionslücke, das heißt, was passiert mit den Funktionswerten, wenn wir hier für x Zahlen einsetzen, die sich in der Nähe von 2 befinden? In der Nähe von 2 ist ein etwas schwammiger Ausdruck. Ich komme da gleich noch genauer darauf zu sprechen. Hier habe ich ja schon mal ein paar Funktionsgraphen dieser Funktionenschar gezeichnet. Wir sehen hier eine Parallele zur y-Achse durch den Punkt 2 - da ist der Punkt 2 - und wir sehen auch, was da wohl mit den Graphen passiert. Die, die von hier kommen, die machen da die Biegung oder sie gehen so daran vorbei. Die Funktionsgraphen, die von hier kommen - also, die kommen ja eigentlich nicht, aber so kann man sich das ja vorstellen, dass man da so entlang geht - die machen hier auch entweder die Biegung oder gehen dann hier nach unten so weg. Das lässt natürlich darauf schließen, dass es sich hier um eine Polstelle handelt, bis auf diese Funktion. Die geht einfach gerade durch. So sieht das zumindest aus. Da muss ich auch gleich noch etwas dazu sagen. Aber der Rest sieht aus wie eine Polstelle, wie ein Pol. Das muss ich nicht weiter erklären, was das ist. Das habe ich schon an anderer Stelle gemacht. Hier soll dann diese Stelle nicht sein, an der das erklärt wird. Jetzt müssen wir das also das noch mal genauer verifizieren, ob das nun eine Polstelle ist, oder nicht. Da habe ich schon mal etwas vorbereitet: Sei also h > 0. Hier habe ich noch extra hingeschrieben "ungleich 0" - h soll also echt größer als 0 sein. Dann möchte ich mir hier angucken: Wie sehen die Funktionswerte aus, wenn ich für x 2+h einsetze? Das wird vielleicht ein bisschen umständlich, aber ich stelle mir vor, dass dieses h in der Nähe von 0 ist, dass es also eine betragsmäßig kleine Zahl ist, und ich kann mir dann hinterher überlegen: Was passiert, wenn das h gegen 0 konvergiert? Was passiert dann mit den Funktionswerten? Daher erst mal diese etwas umständliche Schreibweise. Also, wenn ich jetzt in diesen Funktionsterm statt x 2+h einsetze, dann sieht das so aus. Ich glaube, das brauche ich auch nicht weiter zu erklären. Ich habe es etwas ausmultipliziert, da kommt dann dieser etwas größere Term raus. Ich denke, das ist alles Pillepalle für dich, diese elementaren Termumformungen. Wenn du das selber nachrechnen möchtest, was ich nur immer wieder empfehlen kann, dann hast du hier jetzt ein Zwischenergebnis. Dann kannst du das jetzt vielleicht besser kontrollieren. Deshalb habe ich es hingeschrieben. Letzten Endes heraus kommt dieser Term, also ((8+k)/h)+6+h. Und jetzt ist also die Frage: Was passiert, wenn h gegen 0 geht, wenn h gegen 0 konvergiert? Dann wissen wir schon, hier steht ja letzten Endes eine Zahl, also, immer wenn wir für k eine bestimmte Zahl einsetzen, dann steht hier also 8+k. Das ist also wieder einfach eine bestimmte Zahl. Wenn wir eine bestimmte Zahl durch etwas teilen, das gegen 0 geht, dann strebt dieser Bruch entweder gegen +unendlich oder -unendlich. Weil das so ist, können wir 6+h vernachlässigen. Die spielen dann keine so große Rolle mehr. Dieser gesamte Ausdruck wird dann gegen +unendlich oder -unendlich gehen. Diese +6 und +h können daran auch nichts mehr ändern. Eine kleine Sache habe ich vergessen: Es ist nicht immer so, dass dieser Bruch gegen +unendlich oder -unendlich konvergiert, wenn h gegen 0 konvergiert, nämlich dann, wenn im Zähler eine 0 steht. Das wird oft nicht so beachtet, aber das ist ja auch da, es ist ja auch möglich. Also, wenn im Zähler eine 0 steht, dann kann das h gegen 0 gehen, wie es will. Der ganze Bruch bleibt immer 0 und damit ist der Grenzwert dieses Bruches auch gleich 0. Das ist die einzige Ausnahme, aber, weil wir hier ja eine ganze Funktionenschar betrachten, das heißt, für k mehrere Zahlen einsetzen können beziehungsweise alle Zahlen einsetzen können, müssen wir das deshalb auch berücksichtigen. Das werde ich jetzt mal aufschreiben. Ich fange mal mit großen k an. Wir möchten also haben, dass k > -8 ist. Wenn k > -8 ist, dann ist der Zähler dieses Bruches positiv, und wenn h dann gegen 0 konvergiert, also h->0, das bedeutet dieser Pfeil, dann geht (8+k)/h gegen +unendlich. Das ist die eine Sache, die hierzu zu sagen ist. Dann können wir uns vorstellen, was passiert, wenn k=-8 ist und h gegen 0 konvergiert. Dann folgt - das kann man auch mit dem Folgerungspfeil schreiben - dann folgt, dass der Ausdruck (8+k)/h auch gegen 0 konvergiert. Wenn das so ist, dann kann ich gleich hier den gesamten Ausdruck, den ich ja eigentlich betrachten möchte, nämlich ((8+k)/h)+6+h, auch betrachten. Dann geht der nämlich gegen 6. (8+k)/h bleibt immer bei 0 kleben, h geht sowieso gegen 0. Es bleibt also nur noch die 6 übrig. Deshalb geht dieser gesamte Ausdruck gegen 6, falls k=-8 ist und h gegen 0 geht. Dritter Fall ist der folgende: k soll jetzt kleiner als -8 sein und h soll gegen 0 gehen. Dann folgt, dass (8+k)/h geht gegen -unendlich geht, denn 8+k ist ja jetzt kleiner als 0, also negativ, und wenn h größer als 0 ist - das hatten wir ja eingangs schon festgelegt - und gegen 0 konvergiert, ist dieser gesamte Bruch negativ und geht dann also gegen -unendlich und damit geht auch der gesamte Ausdruck ((8+k)/h)+6+h gegen -unendlich, da diese Sache hier ja nur endlich groß ist und damit hier also in diesem Bereich keine Rolle spielt. Also: Wenn du nach dem Verhalten der Funktionen in der Nähe der Definitionslücke gefragt wirst, dann solltest du so etwas Ähnliches aufschreiben. Das ist im deutschsprachigen Raum sehr unterschiedlich. Die Bezeichnungen sind oft unterschiedlich. Deshalb habe ich das hier bei dem Kern der gesamten Betrachtung belassen. Ich hoffe, du kannst dann am besten, auch wenn du das in der Schule ein bisschen anders gemacht hast, auch davon profitieren. Dann bleibt noch zu sagen, dass das, was ich hier gemacht habe, die eine Hälfte der Überlegung ist. Die andere Hälfte ist: Was ist, wenn h kleiner als 0 ist, sich also von der negativen Seite der 0 nähert. Du kannst dir das schon vorstellen. Da ändern sich ein bisschen die Vorzeichen. Du kannst das zur Übung gerne selber machen, das einfach mal hier so unfallfrei alles aufschreiben. Das trainiert ganz gut. Wenn du das in der Klausur alles gefragt wirst, müsstest du das höchstwahrscheinlich alles auch noch mal hinschreiben, eben für h < 0. Das war es dazu. Das passt auch übrigens zu dem, was ich hier gezeichnet habe. Wir haben einmal hier diese Funktionsgraphen, die gegen -unendlich gehen, diese Funktionsgraphen, die gegen +unendlich gehen. Ich habe das jetzt von der negativen Seite gezeigt. Das ist natürlich blöd. Was ich hier erklärt habe, ist ja die Sache von der positiven Seite. Also hier haben wir aber auch Funktionsgraphen, die gegen +unendlich gehen und welche, die quasi vor der Asymptote hier so nach unten einbiegen, wenn man sich das so dynamisch vorstellen möchte, und dann gegen -unendlich gehen. Also, das passt schon zusammen. Der Fall für k=-8, der sieht so aus. Das ist diese grüne Linie hier. Da passiert eigentlich gar nichts. Es handelt sich hier um eine hebbare Definitionslücke. Das erkläre ich jetzt hier auch nicht mehr genau. Das soll nicht der Platz sein, wo das erklärt wird. Und wir sehen: Hier ist die 6 und die Funktionswerte gehen hier in diese Nähe. Der Computer hat das natürlich einfach durchgezeichnet und er hat dann da natürlich keine Lücke gelassen. Aber ich denke, klarer wird es dann nicht. Damit ist hier also jetzt wirklich der Fall erledigt. Viel Spaß damit. Tschüss.

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