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Transkript Scharen gebrochenrationaler Funktionen – Stammfunktionen (1)

Hallo! Hier ist eine rationale Funktionenschar mit ein paar Graphen dazu und jetzt geht es um das Thema Integrale ganz allgemein. Und da ist dann natürlich nicht nach Integralen gefragt, sondern nach Stammfunktionen. Die Frage könnte hier in dem Zusammenhang lauten: Bestimmen Sie Stammfunktionen oder jeweils eine Stammfunktion zu den Funktionen dieser Funktionenschar. Da ist dann also gefragt nach dem unbestimmten Integral, das heißt das Integral ohne Grenzen, also wo die Grenzen nicht angegeben sind, meine ich damit natürlich. Und wie macht man das? Man nimmt einfach diesen Term hier und integriert, bildet eine Stammfunktion halt und lässt sich von dem k nicht weiter beeindrucken. Wenn man das k einfach beibehält, dann hat man halt hinterher für jedes k, für jede Funktion dieser Funktionenschar eine Stammfunktion gebildet, und dann ist das so in Ordnung. Ja, es ist gar nicht viel zu tun dabei, und ich habe das hier schon mal heimlich vorbereitet. So sieht das aus. Ich habe das Integralzeichen hier, den Funktionsterm einfach hingeschrieben, da ist das k noch. Und wir hoffen einfach, dass das nichts macht, dieses k, das uns das nicht weiter irritieren muss. Dann habe ich erst mal diesen Funktionsterm umgeformt. Das empfiehlt sich sowieso immer. Wenn du Funktionenscharen hast, die hier rationale Funktionen sind, aus rationalen Funktionen bestehen genauer gesagt, dann kannst du ja immer auch eine Polynomdivision durchführen. Hier geht die Polynomdivision nicht auf. Wenn sie aufginge, wäre es vielleicht auch eine Überraschung. Also hier tut sie es nicht, aber wenn man diese Polynomdivision durchführt, dann kriegt man hier einen Term, den man viel einfacher integrieren kann als den hier, meiner Meinung nach zumindest. Du kannst auch den integrieren, wenn du willst, das ist auch manchmal ein bisschen Geschmackssache. Also ich möchte den integrieren, da bin ich schnell durch. Wir haben zum einen ∫ von, also wir können ja summandenweise integrieren, die Stammfunktion von x ist (1/2)x2, Stammfunktion von 4 ist 4x+c jeweils. Hier hab ich das rein prophylaktisch schon mal hingeschrieben. Und dann haben wir den Term noch hier. Da müssen wir auch eine Stammfunktion finden. Wie macht man das? Zunächst einmal kann man sich ja vorstellen, dass es hier [1/(x-2)]× diese Konstante. Immer, wenn wir ein k einsetzen hier, dann haben wir ja 8+k, das ist eine Konstante, und deshalb kann man die einfach davorschreiben hier nach der Konstantenregel. Da muss man nur noch 1/(x-2) integrieren, und wir wissen ja schon, dass ein Grundintegral folgendermaßen aussieht. Wir haben das unbestimmte ∫ von (1/x)dx. Das ist ln, der Logarithmus naturalis, der Logarithmus also zur Basis e. ln(|x|)+c darf ich dahinterschreiben. Und hier haben wir eben fast das Gleiche. Ich schreibe es rein der Vollständigkeit halber noch mal hin, weil ich das gerade so ein bisschen verschwurbelt gesagt habe. Wir fassen 8+k als Konstante auf einfach und haben hier dann noch 1/(x-2) zu integrieren, und wir sehen ja, dass das hier ein linearer Term ist, das heißt, ein Term der Form ax+b. In dem Fall ist a=1, b=-2, das ist ein linearer Term, und da können wir die lineare Substitution drauf anwenden. Das bedeutet also, wir haben jetzt so eine äußere Funktion, die ist dann 1/Term. 1/Term kann man hier so integrieren, mit ln(|Term|), also dieses Ding hier, Nenner, ln Betrag, ln von Betrag von Nenner. Und dann müssen wir noch durch die Vorzahl von |x| teilen, das ist in dem Fall 1, deshalb können wir uns das sparen, das ändert ja nichts, und deshalb kommt man dann hier zu dieser Stammfunktion dieses Terms hier, nämlich (8+k)×ln(|x-2|)+c. Wie gesagt, hab ich da hingeschrieben, für die gesamte Stammfunktion, die unbestimmte Konstante muss ja immer dazu geschrieben werden. Ja und dann war es das, hier an der Stelle. Wir brauchten keine großartigen Verfahren, partielle Integration die allgemeine Substitution oder so was. Lineare Substitution hat hier gereicht. Ja, herzlichen Glückwunsch, geschafft. Viel Spaß damit, tschüss.

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