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Transkript Scharen gebrochenrationaler Funktionen – Schnittpunkte

Hallo, wir haben eine rationale Funktionenschar und in diesem Film möchte ich etwas über die Schnittpunkte der Funktionen dieser Funktionenschar erzählen. Es kommt häufig vor, dass Funktionenscharen, die in Abituraufgaben vorkommen, ein eigentümliches Schnittpunktverhalten haben. Es könnte sein, dass sich alle Funktionen niemals schneiden oder dass sich alle Funktionen in einem Punkt schneiden oder dass alle Schnittpunkte auf einer bestimmten Geraden liegen oder so etwas. Und häufig wird danach gefragt, was mit diesen Schnittpunkten für eine bestimmte Funktionenschar besonders ist. Wenn man Glück hat, ist die Frage sehr speziell gestellt. Zum Beispiel könnte man hier speziell fragen: Zeigen Sie, dass alle Funktionen dieser Funktionenschar keinen Schnittpunkt miteinander haben. Man könnte auch fragen: Wie ist das Schnittpunktverhalten dieser Funktionenschar? Oder: Schneiden sich Funktionen dieser Funktionenschar und wenn ja, wo? Wenn es um die Schnittpunkte geht, dann sollte sich bei dir ein Begriff im Kopf befinden, der heißt "Differenzfunktion". Immer wenn es um Schnittpunkte geht, dann geht es meist auch um eine Differenzfunktion bzw. eine Differenzfunktion kommt sowieso häufig bei Funktionenscharen vor. Es ist ja so,  wenn du eine Funktionenschar vor dir hast, z. B. in einer Abituraufgabe oder einer Maturaaufgabe, oder in der Reifeprüfung, dann kann es passieren, dass du nicht sofort eine Idee hast und dir einfällt, wie man das lösen kann. Wenn das nicht der Fall ist, dann gehst du einfach die Methoden durch, die du so kannst und die du kennst von Funktionenscharen und da sollte also auch der Begriff Differenzfunktion vorkommen. Ja, dir fällt es einfach ein und du fragst dich dann: Was kann ich mit einer Differenzfunktion machen, kann ich die hier anwenden? Auf Schnittpunkte kann man das anwenden. Und zwar bildet man eine Differenzfunktion von zwei unterschiedlichen Funktionen der Funktionenschar und setzt diese gleich 0. Man betrachtet also die Nullstellen der Differenzfunktion, um herauszufinden, was mit den Schnittpunkten los ist. Also, das habe ich hier vorbereitet: d(x)=fk1(x)-fk2(x) mit k1≠k2 k1 und k2 sollen unterschiedlich sein, ansonsten macht das alles keinen Sinn. Gemeint ist das jetzt also so, dass man irgendwelche, zwei unterschiedliche "k"s oder zwei unterschiedliche Funktionen dieser Funktionenschar nimmt und guckt sich dann an, was mit der Differenzfunktion passiert bzw. hier in dem Fall, wenn es um die Schnittpunkte der Funktionen geht, dann nimmt man fk1(x)-fk2(x)=0 und schaut, wo das 0 wird bzw. es kann ja sein, dass diese Differenzfunktion überhaupt nicht 0 wird, d. h. diese Funktionen dieser Funktionenschar schneiden sich nicht und dann kann man diese Gleichung zum Widerspruch führen, da es keine Nullstellen der Differenzfunktion gibt. Kleine Anmerkung noch zu den Indizes: Wenn man es ganz genau nimmt, müsste ich noch an dieses d die Indizes k1 und k2 anfügen. Denn für jeweils unterschiedliche k1 und k2 dieser Funktionenschar ergibt sich ja auch eine andere Differenzfunktion. Will ich jetzt nicht weiter drauf eingehen, ich glaube, wenn du das so notierst, dann hat keiner etwas dagegen. Was ist jetzt zu tun? Man muss einfach die Funktionsterme aufschreiben, fk1 und fk2, das ganze gleich 0 setzen und gucken, was passiert. Dann muss man jetzt eine Gleichung lösen. Zunächst einmal kann man dem Nenner, der ja freundlicherweise bei beiden Termen gleich ist, multiplizieren. Wir können also x-2 multiplizieren. Für x gleich 2 ist die Sache sowieso nicht definiert, d. h. da haben wir kein Problem mit dem Multiplizieren und mit dem Definitionsbereich der Terme hier. Dann ist der Nenner hier schon einmal weg. Denn wenn wir x-2×0 rechnen, kommt wieder 0 raus. Dann habe ich nur noch (x²+2x+k1)-(x²+2x+k2). Das ist, glaub ich, jetzt kein Geheimnis, das ich hier verrate. Da kommt dann raus k1-k2=0. k1 minus k2 ist gleich 0, wenn k1 gleich k2 ist. Kann ich auch noch hinschreiben: k1=k2. Und das ist der Widerspruch! Wir haben nämlich hier gesagt, wir wollen k1 und k2 so wählen, dass sie unterschiedlich sind. Wenn sie unterschiedlich sind, kann die Differenzfunktion keine Nullstelle haben und damit haben 2 unterschiedliche Funktionen dieser Funktionenschar keinen Schnittpunkt. Zu denken waren hier 1, 2 Dinge. Auch methodisch habe ich etwas dazu gesagt. Zu rechnen war eigentlich gar nichts, das kommt häufig vor. Also fast nichts, sag ich mal, und wenn man das dann einsetzt, ist man sofort fertig. Das war es zu den Schnittpunkten.

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