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Transkript Scharen gebrochenrationaler Funktionen – Ortskurve, Ortslinie

Hallo. Hier haben wir eine Funktionenschar, eine rationale Funktionenschar. Da sind einige Graphen dieser Funktionenschar und eine Aufgabenstellung hier in diesem Zusammenhang von Funktionenscharen darf natürlich nicht fehlen, nämlich die Frage nach der Ortslinie oder nach der Ortskurve, z.B. hier der Extrema. Man kann auch die Ortskurve der Wendepunkte oder andere Ortskurven oder Ortslinien, das ist egal. Also wie macht man das, die Ortslinie der Extrema? Man nimmt sich die 1. Ableitung, setzt sie gleich 0. Das ist ja die notwendige Bedingung. Wir gehen also davon aus, dass an diesen Nullstellen der 1. Ableitung sich auch Extrema befinden. Wenn du nach einer solchen Ortskurve gefragt wirst, dann hast du innerhalb dieser Aufgabe höchstwahrscheinlich schon die Extrema behandelt und weißt auch, dass da wirklich welche sind bei den Nullstellen der 1. Ableitung, und musst das hier nicht noch einmal extra machen. Wenn wir also so weit sind und wissen, dass bei den Nullstellen der 1. Ableitung sich die Extrema befinden, können wir diese Gleichung, die sich jetzt hier ergeben hatte, wenn wir die 1. Ableitung gleich 0 setzen, nach k auflösen und dann erhalten wir einen Term, in dem irgendwie ein x vorkommt. Hier in der Gleichung kommt ja ein k und ein x vor und das können wir dann nach k auflösen und dann kriegen wir einen Term raus, irgendeinen Term, ich weiß noch nicht welcher. Und dann setzen wir hier diesen Term für k ein in die Ausgangsfunktion und erhalten dann einen Term, hier einen Funktionsterm. Da steht dann nicht mehr k, sondern dieser Term von x statt k. Und wenn wir das jetzt gleich y setzen, dann haben wir hier eine wunderbare Funktionsgleichung, und zwar die Funktionsgleichung der Ortslinie bzw. Ortskurve der Extrema. Das zum formalen Teil hier zur Wiederholung. Wie sieht das jetzt konkret aus hier in diesem Fall? Wir haben die Ableitung schon bestimmt, also ich jetzt nicht hier in diesem Film, aber in einem anderen Film. Mache ich jetzt nicht noch einmal. Kannst du da nachgucken bei den Ableitungen. Wir wissen: fk'(x)=1-(8+k)/((x-2)2)) Wenn man das jetzt gleich 0 setzt, dann steht hier halt die 0. So ist das halt. Und das ist genau dann der Fall, das ergeben jetzt elementare Umformungen, die ich nicht alle vorrechne. k=(x-2)2-8 Und dieser Term hier, das ist jetzt unser neuer Index. Da ist der Index. Also statt k schreibe ich (x-2)2-8 von x. Und das ist schon so lang, dass es nicht mehr in eine Zeile gepasst hat. Dann entsteht dieser Term. Das ist jetzt unser neuer Funktionsterm. Und wie du hier sehen kannst, hier ist die 8. Diese 8 aus der Ableitung und das k ist dann hier diese Klammer ^2 - 8. Was kommt da raus? Kann man direkt sehen. 8-8 addiert sich zu 0, dann kann man hier ein x-2 kürzen, der Nenner kann nicht 0 werden, haben wir hier mit dem Definitionsbereich schon gesichert. Brauchen wir uns nicht mehr darum kümmern. Und dann haben wir da noch 2x stehen und 4-2 und das ist ganz einfach jetzt 2x+2. Das ist das Ergebnis. Und wenn wir das jetzt noch gleich y setzen, dann hat man halt hier diese Funktionsgleichung bzw. das ist der Funktionsterm der Ortslinie bzw. der Ortskurve. Und da wir ja hier schon so ein paar Graphen haben in dieser Funktionenschar, müssen wir einmal gucken, ob das überhaupt sein kann. Also: 2x+2 ist eine Gerade, die hat die Steigerung 2, von dir aus gesehen so. So ungefähr muss die verlaufen, schneidet die y-Achse bei 2. Also wenn man sich das hier einmal so anguckt, diese Extrema. Ich zeige das einmal so. Hier sind die Extrema, da sind die Maxima und hier oben sind die Minima und ich habe so den Eindruck, dass die hier so entlangverlaufen, d.h., hier ist der Schnittpunkt mit der y-Achse bei 2 und ich glaube, die Steigung ist auch 2. Das kann man hier ganz gut sehen. Man kann es auch von einem Computerprogramm zeichnen lassen, das noch einmal etwas genauer überprüfen oder man kann es auch noch einmal nachrechnen. Also hier nur mit diesen Graphen, die wir gezeichnet haben, das kann man immer gut als Maßstab heranziehen so als Vergleich, um irgendwie abschätzen zu können, ob man da richtig gerechnet hat. Das Ergebnis ist auf jeden Fall richtig und damit ist die Ortslinie bzw. die Ortskurve der Extrema bestimmt. Viel Spaß damit. Tschüss.

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