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Transkript Scharen gebrochenrationaler Funktionen – Nullstellen

Hallo, hier ist eine rationale Funktionenschar fk(x)=x2+2x+k/x-2. Definiert ist diese rationale Funktionenschar für alle reellen Zahlen außer der 2. Und es soll jetzt, in diesem Film, um die Nullstellen gehen. Um die Nullstellen dieser rationalen Funktionenschar. Und ich gucke mir das erst mal hier auf der Zeichnung an. Das sind ja mehrere Funktionsgraphen hier, diese rationale Funktionenschar. Wir haben einmal hier welche, die da so entlang laufen und so. Die Graphen sind meistens 2 geteilt, hier eine Hälfte, da oben eine Hälfte. Diese obere Hälfte hat hier nichts mit den Nullstellen zu tun. Hier unten laufen Funktionsgraphen unterhalb der x-Achse, das heißt, ich nehme an, die werden keine Nullstellen haben. Eine rote Funktion bzw. der Graph einer Funktion berührt hier einmal die x-Achse, da oben ist auch noch einmal die rote Funktion, also die andere Hälfte des Graphen, dieser Funktion, die wird mit der Nullstelle nichts zu tun haben. Also da ist wahrscheinlich eine einzige Nullstelle. Diese anderen Funktionen, hier z. B. die Schwarze, die Blaue und so, die hier verlaufen, haben 2 Nullstellen. Dann haben wir hier diese grüne Funktion, die da einmal so als Gerade entlang läuft, die wird wahrscheinlich eine Nullstelle haben. Und die anderen Funktionen, die so verlaufen hier, da ist der Graph also 2 geteilt. Der eine verläuft links des Pols und der andere Teil des Graphen verläuft rechts des Pols. Die haben auch, nach Ansicht der Dinge hier, 2 Nullstellen. Und naja, das sieht also danach aus, als ob wir da einen bis zwei Fallunterscheidungen wohl machen müssen. Allen Nullstellen ist Folgendes, wenn man jetzt bestimmte Funktionen dieser Funktionenschar untersucht, also bestimmte k´s festlegt und das unterscheiden möchte, dann hat man also immer hier, die gleiche Vorgehensweise. Wir haben unsere Funktionenschar und wir wissen, diese Funktionenschar, oder eine Funktion dieser Funktionenschar hat eine Nullstelle, wenn der Funktionsterm gleich 0 ist. Da dieser Funktionsterm ein Bruch ist, brauchen wir nur den Zähler gleich 0 setzen, denn ein Bruch wird nur dann 0, wenn der Zähler gleich 0 ist. Allerdings müssen wir hier mit darauf achten, wird dann der Nenner auch 0 oder nicht, denn wenn der Zähler 0 ist und der Nenner ungleich 0, dann ist der gesamte Bruch gleich 0. Wenn der Zähler 0 ist und der Nenner 0 ist, dann ist das ganze Ding nicht definiert und dann haben wir auch keine Nullstelle. Also habe ich den Zähler gleich 0 gesetzt, das k kann man hier behandeln wie einfach eine ganz normale Zahl. Und naja, das ist eine quadratische Gleichung, was immer du da für Formeln kennst, pq-Formel, abc-Formel, Mitternachtsformel und sonst was, ist mir egal. Kann man auch mit 3. binomischer Formel machen, da gibt es 100000 Verfahren, glaube ich. Es kommt auf jeden Fall Folgendes heraus, die beiden Nullstellen, die der Zähler produzieren kann, haben die Form -1±\sqrt(1-k). Wenn man das hier in die pq-Formel einsetzt, kriegt man nicht direkt diesen Term, ich habe es ein bisschen umgeformt, ganz elementar umgeformt. Das kannst du auch ohne meine Erklärung. Also, das ist hier der Term, den man erhält, wenn man den Zähler 0 setzt. Jetzt kommen wir zu den Fall Unterscheidungen. Und ich kann kein Verfahren angeben, wie du jetzt sofort darauf kommst, welche Fälle du genau zu unterscheiden hast. Also, da ist ein bisschen Erfahrung gefragt. Kannst auch gerne diese Zeichnung zur Hilfe nehmen, wenn du dich schon ein bisschen orientiert hast, wo ist hier eigentlich welche Funktion, wenn ich welches k einsetze, wie sieht das Dingen dann aus. Da kannst du allein schon aus Ansicht der Dinge schließen, welche Fälle du unterscheiden musst. Andere Sache ist, auf jeden Fall zu beachten ist, was passiert, wenn der Zähler gleich, also wenn wir für x 2 einsetzen müssen, damit der Zähler gleich 0 wird, das wäre ja eine Definitionslücke. Das ist sogar eine Definitionslücke, denn die rationale Funktionenschar ist da nicht definiert, da muss man auf jeden Fall das untersuchen, für welches k muss man für x 2 einsetzen, damit der Zähler 0 wird. Das nur so als Hinweis. Dann haben wir hier eine bestimmte Funktion, die wird bestimmt auch eine Rolle spielen. Und da kann man gleich mal gucken, was ist, wenn ich, also wir wissen, das ist diese Funktion für k=-8, was passiert wenn k>-8 ist, was passiert wenn k Wir fangen mal oben an. Also oben im Sinne von großen k´s. Wenn k>1 ist, wie bin ich auf dieses Ding gekommen? Ich sehe ja direkt hier unter der Wurzel haben wir 1-k, das heißt, es wird also interessant werden, wenn k=1, wenn k>1 ist, oder wenn k1 ist, dann haben wir hier, unter der Wurzel halt, 1-k stehen. Nicht nur dann, aber dann ist 1-k<0, damit ist die Wurzel im Reellen hier nicht definiert, da wir uns innerhalb der reellen Zahlen befinden, hat die Funktion dann keine Nullstelle. Also das ist dieser Fall hier. Die untere Hälfte des Graphen läuft an der x-Achse vorbei und die Obere hat so wie so schon nichts mehr damit zu tun. Dann also keine Nullstellen. Wenn k=1 ist, dann ist die Wurzel =0. Und wir können für x nur -1 einsetzen, sodass also der Zähler =0 wird. Wenn wir für x -1 einsetzen, dann ist der Nenner=-3, das heißt, der Zähler ist dann 0, der Nenner ist ungleich 0, der ganze Bruch ist =0, daher haben wir eine Nullstelle. Ich habe schon gesagt, bei -8, für k=-8, da ergibt sich irgendwas Besonderes. Deshalb habe ich einfach hier mal gesagt, wir gucken mal was passiert, wenn k zwischen - und -8 liegt. Also zwischen diesen beiden Besonderheiten. Dann ist \sqrt(1-k), die ist <3, damit diese Wurzel hier =3 wird, müssten wir für k, für dieses k hier, -8 einsetzen, dann steht da nämlich 1-(-8), das ist 1+8=9, dann wäre die Wurzel hier =3. Wenn das der Fall ist, kann man hier so rechnen, -1+3=-2 und da haben wir dann die Definitionslücke. Wenn also k>-8, dann wird hier mehr abgezogen, das heißt, die gesamte Wurzel wird kleiner und sie ist dann <3. Und deshalb kann -1+ etwas2, sondern es ist <2. Das bedeutet, dass dieses x, welches wir hier herauskriegen werden, Das war jetzt eine komplizierte Erklärung, eine langatmige Erklärung vielleicht, für einen relativ klaren Fall. Falls dir das zu durcheinander war, kannst du das auch gerne noch mal ausprobieren. Würde ich so wie so vorschlagen, wenn du dir hier nur meine Erklärung anhörst, dann ist das vielleicht nicht ganz so das Gefühl, das du dazu haben solltest. Dieses Gefühl bekommst du eigentlich nur durch echtes Rechnen, durch wirklich durchrechnen hier, was passiert denn, wenn ich welches k einsetze, wie groß wird denn hier eigentlich was und wie verhalten sich Zahlen, wenn ich sie jetzt vergrößere oder verkleinere, wie verhalten sich dann Wurzeln usw. Das ist immer so ein bisschen Geschmacksache, was ist die Erklärung dafür, dass etwas größer oder kleiner ist, als etwas anderes. Also, was die Erklärung ist, das kann man mathematisch nicht beweisen, das ist etwas, was du empfinden kannst. Was für dich da der sinnvolle Zugang ist. Also, ich mache mal weiter mit meiner Erklärung. Wenn k=8, dann passiert Folgendes, wenn k=-8 ist, steht hier ja unter der Wurzel +9, die Wurzel ist dann =3. Dann haben wir hier stehen, -1±3. -1-3=-4, das ist kein Problem, dann kommen wir hier nicht mit dem Definitionsbereich ins Gehege. Aber wenn wir hier rechnen -1+3, dann haben wir hier x=2, das ist aber ausgeschlossen, denn dort ist die Funktion gar nicht definiert, das heißt für k=-8, gibt es nur eine einzige Nullstelle. Und das kann man hier auch ein bisschen sehen, für k=-8 erhalten wir ja hier diese Gerade mit der Definitionslücke an dieser Stelle. Und diese Gerade hat natürlich nur eine Nullstelle, wie es bei linearen Funktionen so üblich ist. Wenn k<-8, das ist hier unten der letzte Fall, dann haben wir 2 Nullstellen, warum? Wir können 2 Nullstellen des Zählers, hier mit dieser Formel ausrechnen, wenn k3, das bedeutet, wenn wir rechnen -1+ etwas was >3, das ist dann >2, das bedeutet, die Nullstellen hier sind auf jeden Fall >2. Wenn wir rechnen -1- etwas >3, dann wird das Gesamte hier <-4, das heißt, also um genau zu sein, wenn man hier das + nimmt, dann bekommt man hier ein x>2, wenn man das - nimmt, bekommt man ein x<-4. Warum sage ich das so genau? Um eben auszuschließen, dass hier mit dem Nenner nichts passiert. Das heißt, x kann dann nicht 2 werden, wir haben für alle k Ja und damit bin ich hier fertig. Viel Spaß damit, tschüss.

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