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Transkript Scharen gebrochenrationaler Funktionen – Monotonieverhalten (1)

Hallo, hier ist eine rationale Funktionenschar, das sind ein paar Graphen davon und es geht jetzt um das Monotonieverhalten. Ich habe schon ein paar Sachen vorbereitet, einfach deshalb, um den Film ein bisschen kürzer zu halten und zum anderen ist es meist so, wenn du nach dem Monotonieverhalten gefragt wirst, hast du meist im Verlauf einer solchen Aufgabe schon die Ableitungen gebildet und auch so schon an der Funktionenschar gearbeitet und deshalb zeige ich jetzt nicht alles von ganz vorne. Wenn es um das Monotonieverhalten geht, das kommt jetzt erst mal weg, das brauchen wir nicht mehr, was kann man da tun? Nun, klar ist, wir brauchen die erste Ableitung. Und die erste Ableitung macht man am besten mit dieser Form dieser rationalen Funktionenschar, diese Form erhält man die Polynomdivision macht, da kann man ganz einfach ableiten, hier X abgeleitet, 4 abgeleitet, ist kein Problem. Das hier kann man mit Kettenregel machen oder auch mit Quotientenregel, ist egal. fk Strich von X ist dann auf jeden Fall 1-8+k:(X-2) hoch 2. Und wir sehen schon hier an diesen Graphen, und auch sonst glaube ich ist es algebraisch klar, dass wir hier eine Fallunterscheidung machen müssen, wir sehen ja und ich hoffe du siehst das auch sofort, wenn man für k -8 einsetzt, dann passiert hier etwas ganz bestimmtes, da wird hier nämlich der Zähler 0, wenn man für k etwas größer als -8 einsetzt, dann wird dieser Zähler größer als 0, wenn man für k etwas kleiner als -8 einsetzt, dann wird der Zähler kleiner als 0. Wir können uns hinterher noch überlegen was dann passiert, wenn der Zähler größer oder kleiner 0 ist, wenn wir aber k= -8 einsetzen, also hier: sei k= -8, dann wird der Zähler 0 und dann ist die Frage was passiert mit der Ableitung und mit dem Monotonieverhalten? Jetzt habe ich ja einfach hingeschrieben die Ableitung fk Strich von X ist dann gleich 1, wenn das hier 0 ist, haben wir da die 1 noch stehen. Für viele Leute ist da schon die Aufgabe erledigt. Zumindest für k= -8, aber hier habe ich das Fragezeichen hingeschrieben, das ist einer der Punkte, wo ich dann sagen möchte: Moment mal, das geht mir etwas zu schnell. Und zwar deshalb, was ist denn mit der Definitionslücke eigentlich? Wir wissen ja das X, dass die Funktionen, die Ableitungsfunktionen, zum Beispiel bei X=2, gar nicht definiert ist. Ist das ein Problem, oder nicht? Und weil vielleicht nicht jeder der Zuschauer die Problematik so vor Augen hat, möchte ich einmal ein kleines Beispiel zeigen. Wir nehmen mal die Funktion -1/X. Ich schreibe nur den Term hin. -1/X. Die sieht ungefähr so aus, habe ich jetzt mal ganz salopp hier angedeutet, also hier geht es natürlich nicht runter, sondern steigt weiter, da steigt sie auch. Die Ableitung davon ist 1/X quadrat. Muss ich das doch hinschreiben, also g von X, g von x ist -1/X und dann ist g Strich von X gleich 1 durch X quadrat. 1 durch X quadrat ist überall da, wo es definiert ist, positiv. Das heißt, da könnte man jetzt vielleicht sagen, da ist ja das Monotonieverhalten klar, die Funktion steigt überlall, zumindest da wo sie definiert ist. Für X gleich 0 ist sie ja nicht definiert. Aber noch mal, Moment mal, hier an der Stelle, denn wir müssen uns eh noch mal überlegen was bedeutet denn Monotonie, was bedeutet zum Beispiel monoton steigend, beziehungsweise streng monoton steigend. Die Definition ist folgendermaßen: X1 soll jetzt mal größer als X2 sein. Und daraus muss dann folgen, wenn die Funktion streng monoton steigend ist, dass dann f von, also es geht um die Funktion f, die jetzt streng monoton steigend sein soll, dann ist f von X1 auch echt größer als f von X2. Das bedeutet, streng monoton steigend und monoton steigend, bedeutet f von X1 ist größer oder gleich als f von X2. Unter der Voraussetzung, dass X1 größer als X2 ist. Nun gucken wir uns das mal hier an, wie das bei der Funktion ist, ich nehm mal hier zum Beispiel das X1 an der Stelle und da das X2. Dann ist richtig, dass X1 größer als X2 ist, aber der Funktionswert bei X1 ist hier unterhalb der x-Achse da ist er oberhalb der x-Achse, das heißt es gilt hier eben nicht f von X1 größer als f von X2, sondern es gilt sogar, größer oder gleich meine ich, es gilt sogar f von X1 ist kleiner als f von X2. Von daher ist diese Funktion nicht überall streng monoton steigend und man könnte jetzt aber die Intervalle angeben, auf denen die Funktion streng monoton steigend ist, und zwar ist es das offene Intervall von minus unendlich bis 0, 0 nicht eingeschlossen, denn da ist die Funktion nicht definiert und ebenso das offene Intervall von 0 bis plus unendlich. Da ist die Funktion streng monoton steigend, auf diesen beiden Intervallen, aber eben nicht überall. Was bedeutet das jetzt hier für unsere Funktion? Wir haben ja eine Definitionslücke bei X=2. Und rein zufälligerweise ist hier das jetzt nicht, das wir 2 Intervalle angeben müssen, auf denen die Funktionen dann streng monoton steigend ist, sondern sie ist tatsächlich überall streng monoton steigend. Es ist übrigens grafisch gesehen diese Linie hier, diese Gerade, das ist der Graph der Funktion f -8 von X. Wenn man für k -8 einsetzt. Dann hat man diese Gerade hier. Diese Gerade hat da eine Funktionslücke, ich zeichne das mal etwas übertrieben, die Gerade verläuft so, hier ist die Lücke, mache ich einmal so eine Kugel dahin, und da geht es dann weiter. Ja und da ist sie, in dem einzigen Punkt ist sie nicht definiert. Aber es gilt für alle X1 und X2, wenn hier X1 ist und da X2, dass hier die Funktionswerte alle kleiner sind als hier. Das heißt die Definitionslücke macht in dem Fall überhaupt nichts und die Funktion f -8 von X ist tatsächlich überall streng monoton steigend. Und wie das dann bei den anderen K´s aussieht, zeige ich dann in den Folgefilmen davon. Wie du hier schon sehen kannst, da einmal ist ein Funktionsgrad und da  ist auch einer der zweigeteilten 2 Teile, sage ich mal. Da sieht man schon, das wird nicht so glimpflich ablaufen wie hier. Gucken wir was passiert. Bis dann. Tschüss.            

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