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Transkript Scharen gebrochenrationaler Funktionen – Funktionsgleichung bestimmen (1)

Hallo! Wir haben eine Funktionenschar fc(x)=(x2+2x-4)/c×(x-2). x soll ?2 sein, c soll ?0 sein. Ansonsten kann man für x und c reelle Zahlen einsetzen. Gesucht ist eine bestimmte Funktion dieser Funktionenschar, für die gilt, dass der Graph dieser Funktion mit der x-Achse eine Fläche einschließt, die die Flächenmaßzahl 1 hat. Um das ein bisschen deutlicher zu machen, habe ich hier einmal den Funktionsgraphen skizziert für c=1. Dann haben wir hier (also der Funktionsgraph ist ja dann zweigeteilt, nicht wahr) und hier ist die Fläche, die der Funktionsgraph mit der x-Achse einschließt. Wenn man für c 1 einsetzt, ist diese Fläche nicht =1, sie hat nicht die Flächenmaßzahl 1, aber es ist jetzt halt das bestimmte c gesucht, für das diese Fläche die Flächenmaßzahl 1 hat. Diese Aufgabe habe ich mir auch deshalb ausgedacht, weil so eine Aufgabe oft im Anschluss an eine andere Aufgabe gestellt wird, nämlich wenn man schon etwas über eine Funktion weiß, z. Bsp. hier für c=1. Man hat vielleicht schon für c=1, also für f(x)=(x2+2x-4)/c×(x-2), für diese Funktion hat man vielleicht schon etwas gerechnet, man kennt die Nullstellen, man kennt schon diese bestimmte Fläche hier und erweitert dann die ganze Sache auf eine Funktionenschar, wie sie hier steht, und soll dann den Flächeninhalt da anpassen. Wenn das passiert, gibt es 2 denkbare Reaktionen von Schülern, die sich dann an 2 Enden einer Skala befinden. Zum Einen könnte man denken: Jetzt wird das alles viel schwieriger und c ist außerdem im Nenner dieses Bruches, das ist ja ganz furchtbar. Und Funktionenscharen sind auch furchtbar und das haben wir noch gar nicht gemacht mit dem c im Nenner, das ist ja noch schrecklicher und jetzt weiß ich gar nicht, was ich machen soll! Das ist die eine Möglichkeit. Und die andere, die sich am anderen Ende befindet, ist, dass man sagt: Ja, wie? Jetzt habe ich ja nichts mehr zu tun. Ich muss ja jetzt nur noch das Ergebnis hinschreiben und dann bin ich ja schon fertig. Beides ist möglich und das passiert oft in Abituraufgaben, dass man im Verlauf dieser meist etwas komplexeren Aufgaben auf etwas aufbaut. Und wenn man dann mit kühlem Kopf da herangeht, dann hat man eigentlich nichts zu tun und ist wirklich in wenigen Sekunden fertig. Und wenn man da zu aufgeregt ist und sich verhaspelt, dann rechnet man sonst wohin und die Zeit läuft einem davon. Also. Ich möchte hier aber zeigen, wie das geht, wenn man die bestimmte Funktion nicht unbedingt vorher betrachtet hat. Dann müssen wir uns also überlegen, wenn wir hier eine Fläche anpassen wollen, wenn wir verschiedene Funktionen haben, die verschiedene Flächen mit der x-Achse einschließen - ja, wie kann man da vorgehen? Wir müssen einfach zunächst einmal überlegen, wo schneiden denn die Graphen dieser Funktionenschar die x-Achse? Das heißt, wo sind denn überhaupt die Nullstellen, das heißt, unsere nachherigen Integrationsgrenzen? Und dann stellen wir hier schon mal hoffentlich erfreut fest, dass ja das c mit den Nullstellen dieser Funktionenschar überhaupt nichts zu tun hat. Denn dieser Bruch wird 0, wenn der Zähler=0 wird und der Nenner ?0 ist und das heißt, wir müssen einfach den Zähler =0 setzen. Also erhalten eine quadratische Gleichung: x2+2x-4=0. Das ist die quadratische Gleichung. Ich darf die Lösung gleich verraten, ich glaube, das ist kein Geheimnis, das schaffst du auch so. Die beiden Lösungen sind -1+-\sqrt5. Das sind unsere Nullstellen, da und da. Jeder Funktionsgraph dieser Funktionenschar hat da die Schnittpunkte mit der x-Achse. Ja und dann müssten wir uns noch angucken, was passiert mit dem Integral, wenn wir das alles integrieren hier in diesen Grenzen? Das hab ich jetzt hier einmal vorbereitet. Also, die Nullstellen haben wir schon und die setzen wir jetzt als Integrationsgrenzen ein und haben dann hier diesen Term (x2+2x-4)/c×(x-2). Ja, was ist jetzt zu tun? Auch hier soll man sich nicht verrückt machen lassen von wegen "Jetzt muss ich hier eine ganze Funktionenschar integrieren, wie mach ich das bloß?" Also wenn man hier genau hinguckt, dann sieht man, dass da eigentlich nichts dahinter steckt, und zwar kann man ja einfach dieses c, was ja eine Konstante ist, vor das Integral schreiben und dann ist man fast schon fertig. Das sieht dann so aus. 1/c kommt dann vor das Integral und dann müssen wir nur dieses bestimmte Integral ausrechnen, um dann weiterrechnen zu können bzw. wir können einfach sagen, was die Bedingung ist, was wir hier erreichen wollen, das können wir jetzt hier hinschreiben. Wir wollen ja, dass das Ganze =1 ist. Wir wollen ein c finden, sodass dieser Ausdruck =1 wird. Und ja, da hilft es, wenn man sich einfach vorstellt, dass hier ja einfach nur eine bestimmte Zahl herauskommt. Das ist ein bestimmtes Integral, da kommt eine Zahl heraus. Ich nehme das mal vorweg, ich möchte die Integration hier auch nicht komplett durchführen, da ich das in einem anderen Film schon einmal gezeigt habe. Hier kommt ungefähr 5,717 heraus bei diesem bestimmten Integral. Und wenn wir jetzt wollen, dass 1/c×5,717=1 wird, dann muss c= 5,717 sein. Okay? Ich glaube, das ist jetzt dann kein Geheimnis mehr. Das bedeutet allerdings, ich kann das Ganze hier wegnehmen, das interessiert mich nicht mehr, ich brauche das gar nicht ausrechnen. Das c ist dieses bestimmte Integral. Oder grafisch gesehen: die Flächenmaßzahl dieser Fläche hier, die die Funktion f1 mit der x-Achse einschließt, diese Flächenmaßzahl=c. Wenn man jetzt in der Situation ist, dass man dieses bestimmte Integral schon berechnet hat im Laufe einer komplexeren Aufgabe, dann muss man nur hinschreiben: Das ist das bestimmte Integral, also die Zahl, die bei dem bestimmten Integral herauskommt, das =c. Dann hat man nichts zu tun und ist direkt in Sekundenschnelle fertig, wenn man es dann sieht und den Mumm hat, das dann einfach hinzuschreiben. Ja, das also zu Aufgaben, die man sehr schnell lösen kann, wenn man den Überblick hat und die vielleicht sehr lange dauern, wenn man den Überblick nicht hat. Das ist ein extremer Fall davon. Ich hoffe, es war lehrreich. Viel Spaß damit, tschüss!    

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2 Kommentare
  1. Default

    Bei 7:27 erwähnen Sie, dass sie in einem anderen Video das mit dem Integral erklären.
    Wie genau heißt dieses Video?
    Bzw. wäre es möglich einen Link dafür zu posten?

    Von Isi95, vor etwa 4 Jahren
  2. Default

    Ich habe für x1=-1+√1-4
    und für x2=-1-√1-4
    Was habe ich falsch gerechnet?
    (√=Wurzelzeichen)

    Von Isi95, vor etwa 4 Jahren
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