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Transkript Satz von Bayes – Definition (2)

Hallo, dass was wir hier haben ist, der Satz von Bayes in der normalen Form, nicht in der vereinfachten Form und dass hier ist die Herleitung. Es ist gar nicht so viel zu tun, ich sage eben, was dort passiert ist.

Wir wissen nach dem Multiplikationssatz, dass die Wahrscheinlichkeit P(AiɅB)=P(Ai)×P(B|Ai)

Ai soll nun irgendeine Menge von Ergebnissen eines Zufallsversuchs sein, diese sollte nun nicht leer sein, damit wir keine Probleme haben. B soll auch eine nicht leere Menge sein, die auch eine positive Wahrscheinlichkeit hat, eine nichtleere Menge des gleichen Zufallversuchs.

Nach dem Multiplikationssatz gilt weiter, dass die Wahrscheinlichkeits des Schnittes von P(AiɅB)=P(B)×P(Ai|B).

Wenn wir nun die beiden linken Seiten der Gleichungen gleichsetzen und eine elementare Umformung machen, erhalten wir das, was hier steht, P(Ai|B)=(P(Ai)×P(B|Ai))/P(B)

Wenn wir jetzt noch P(B) ersetzen, durch diesen Ausdruck den wir aufgrund des Satzes der totalen Wahrscheinlichkeit erhalten haben ∑i=1P(Ai)×P(B|Ai), dann sind wir fertig. Dann haben wir den Satz von Bayes hier stehen und dass ist dann schon die komplette Herleitung. Das erläutere ich nun hier nicht da habe ich schon Filme drüber gemacht, über den Satz der totalen Wahrscheinlichkeit und wie man sich das vorstellen kann, das soll nun hier nicht das Thema sein. Auch der Schritt von P(B) zu ∑i=1P(Ai)×P(B|Ai) ist der Satz der totalen Wahrscheinlichkeit.

Was bedeutet das jetzt? Ich möchte eine kleine Sache dazu erzählen, also nicht ein richtiges Beispiel zum Rechnen, sondern einfach nur ein Beispiel zur Illustration.

Mal angenommen wir sagen, das Ereignis B sei, jemand ist 43 Jahre alt und die Ai's sollen Gruppen der Bevölkerung sein, so das jeder Mensch in einer dieser Gruppen ist und jeder Mensch auch nur in einer einzigen Gruppe ist, dass bedeutet, die Gruppen sollen untereinander disjunkt sein, sollen also keine gemeinsamen Elemente haben. Das könnten Köche sein, das könnten Verbrecher sein, das könnten Kinder unter 14 sein. Ich nehme mal an, dass sie disjunkt sind, weil Köche kochen und keine Verbrechen verüben können und Verbrecher kochen normalerweise nicht und Kinder unter 14 können keine Verbrecher sein, weil sie laut Gesetz noch nicht strafmündig sind und Verbrecher ist man erst, wenn man verurteilt wurde. Außerdem können Kinder keine Köche sein, weil Kinderarbeit in Deutschland verboten ist usw. Wir könnten jetzt diese jeweils Fragen wie alt sie sind und könnten eine statistische Erhebung machen und würden dann zum Beispiel etwas über die Wahrscheinlichkeit sagen können, dass ein Koch 43 Jahre alt ist. Wir können auch zu Verbrechern gehen und fragen, "wie alt bist du?" Dann bekommen wir eine Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Verbrecher 43 Jahre alt ist. Wir könnten auch die Kinder fragen, aber die sind nicht 43, da weiß ich jetzt schon, die Wahrscheinlichkeit dafür wird 0 sein. Das ist hier kein Problem, weil wir hier aufsummieren und da kann auch eine Wahrscheinlichkeit mit 0 vorkommen.

Wir müssen dann jeweils noch wissen, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass ein Mensch zu einer bestimmten Bevölkerungsgruppe gehört. Das sind dann diese Wahrscheinlichkeiten, die hier stehen. 

Was jetzt allerdings hier steht, ist die Antwort auf die Frage: Ich bin 43, bin ich jetzt ein Verbrecher?

Also das umgekehrte steht hier, oder die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein 43-Jähriger ein Verbrecher ist.

Wenn wir jetzt ein anderes Ai nehmen, also eine andere Menge, dann könnte dort auch die Wahrscheinlichkeit stehen, dass ein 43-Jähriger ein Koch ist.

Wie gesagt dieses Beispiel soll nur als Illustration dienen, dass interessantere daran ist, dass man hierbei etwas über Ursache und Wirkung sagen kann. Wir können die Wahrscheinlichkeiten die hier stehen so auffassen, dass sie etwas über eine Wirkung B sagen, unter einer bestimmten Voraussetzung, also unter der Voraussetzung, dass eine bestimmte Ursache vorhanden ist. Es ist möglich, dass man etwas über die Wirkung weiß, über die Wahrscheinlichkeit einer Wirkung, wenn nun eine bestimmte Ursache eingetreten ist. Wenn wir alle möglichen Ursachen für diese Wirkung B kennen und dass mit den Wahrscheinlichkeiten verarbeiten können, dann können wir bei P(Ai|B) darauf schließen, wie wahrscheinlich es ist, dass die bestimmte Wirkung B an einer bestimmten Ursache Ai gelegen hat. Und das ist eine allgemeine Denkweise, die auch laufend im Alltag vorkommt und deshalb ist dieser Satz so entscheidend und so wichtig, weil er diese allgemeine Denkweise hier modelliert und uns zeigt wie wir damit wirklich und im Ernst rechnen können.

Viel Spaß damit, tschüss.

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