Textversion des Videos

Transkript Satz des Pythagoras – Erklärung

Hallo, der Satz des Pythagoras ist einer der berühmtesten Sätze der Mathematik. Und gleich wirst Du wissen, worum es dabei geht. Es geht nämlich um rechtwinklige Dreiecke, und rein zufällig habe ich da mal eines vorbereitet.

Das rechtwinklige Dreieck

Ein rechtwinkliges Dreieck ist ein Dreieck mit einem rechten Winkel hier innen drin. Ein rechter Winkel ist ein Winkel von 90°, wenn du ein Geodreieck hast, kannst du das hier so reinlegen mit dieser Spitze, und dann passt das genau, das ist ein rechter Winkel, ein 90°-Winkel. Übrigens in einem Dreieck gibt es nur immer einen einzigen rechten Winkel, du kannst es ja mal ausprobieren, ein Dreieck mit zwei rechten Winkeln zu zeichnen, mit zwei 90°-Winkeln, es wird dir nicht gelingen, außer vielleicht in der nicht-euklidischen Geometrie, aber das ist eine völlig andere Baustelle, darum soll es hier jetzt nicht gehen.

Also, in einem Dreieck gibt es nur einen einzigen rechten Winkel, übrigens ich drehe dieses Dreieck hier die ganze Zeit auch deshalb, weil ich das nämlich kenne, dass Schüler meinen, ein rechtwinkliges Dreieck müsse immer so aussehen, oder vielleicht so. Aber es kann auch so aussehen oder so im Raum liegen, irgendwie, das ist völlig egal, der rechte Winkel, dieser rechte Winkel geht dadurch nicht kaputt. Ich kann es auch drehen, und der rechte Winkel ist immer noch da.

Kathete und Hypotenuse

Da diese Dreiecke mit einem rechten Winkel oder kurz "rechtwinklige Dreiecke" etwas Besonderes sind, was besonderes wie du und ich, deshalb haben die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks besondere Namen. Und die möchte ich jetzt mal aufschreiben: Und zwar haben wir für diese grüne Seite - also diese grüne Seite und diese blaue Seite, die bilden ja zusammen diesen rechten Winkel hier, diesen 90°-Winkel. Und die grüne Seite heißt Kathete, das schreibe ich auch in grün, Kathete, mit "th", es gibt also eine Kathete. Hier die grüne Kathete und noch eine blaue Kathete in diesem Dreieck, meistens sind die ja gleichfarbig, nicht wahr? Aber hier haben wir zwei unterschiedliche Farben, deshalb schreibe ich jetzt die andere Kathete auch in Blau. Das bedeutet also, eine Kathete ist eine Seite, die am rechten Winkel anliegt. Hier ist der rechte Winkel, da ist die grüne Kathete und da ist die blaue Kathete. Katheten sind also die Seiten, die am rechten Winkel sind.

Die andere Seite hier, diese rote Seite ist auch eine besondere Seite, denn sie liegt dem rechten Winkel gegenüber. Hier ist der rechte Winkel und dort ist die Seite, die dem rechten Winkel gegenüberliegt. Davon gibt es dann immer nur eine, und die heißt Hypotenuse. Die ist in diesem Fall hier rot, deshalb schreibe ich auch hier in rot, mit Ypsilon, "Hypotenuse"!

Der Satz des Pythagoras

Und jetzt passiert das Interessante: Jetzt kommen wir zum eigentlichen Satz des Pythagoras, das war bisher nur die Voraussetzung: Wir brauchen ein rechtwinkliges Dreieck, mit diesen beiden Katheten und der Hypotenuse. Jetzt könnte ich Folgendes machen, ich könnte die Seitenlängen nachmessen, rein zufällig habe ich da mal ein Lineal vorbereitet, und hier könnte ich zum Beispiel feststellen, dass die Seitenlänge, die grüne Seitenlänge hier, 16 cm ist. Dann wäre es also möglich, diese Seitenlänge zu quadrieren. In dem Fall also 16×16 zu rechnen, oder einfach: Kathete zum Quadrat.

Gemeint ist natürlich nicht, dass ich hier diese Kathete kaputtmache und ein Quadrat draus mache, sondern die Seitenlänge wird quadriert, Seitenlänge mal Seitenlänge, das ist die Seitenlänge zum Quadrat, oder kurz eben "Kathete zum Quadrat". Ich kann die andere Kathete auch nachmessen, die ist jetzt vielleicht hier 29, kann ich bei den dicken Strichen hier sowieso nicht genau nachmessen, aber auch diese Seitenlänge könnte ich quadrieren. Tja, da schreibe ich hier auch noch dieses Quadrat dran, und ich könnte beide addieren. Einfach nur so, reine Willkür bis hierhin.

Außerdem könnte man nun die Hypotenuse nachmessen, das sind hier etwa 31. Die Hypotenusenlänge, die kann ich auch quadrieren. Einfach nur so, das darf man machen. Und jetzt kommt der große Clou dabei: Wenn man nämlich das hier gemacht hat, beide Katheten quadriert und addiert und die Hypotenuse quadriert hat, dann stellt man fest, dass beide gleich sind. Das heißt, die Summe der Kathetenquadrate ist gleich dem Hypotenusenquadrat. Und das ist der Satz des Pythagoras. Es gibt viele Beweise dazu, die möchte ich hier nicht zeigen, es gibt viel zu erzählen dazu, zu dem Herrn Pythagoras, der Grieche war, wie er gelebt hat und wie er auf den Satz gekommen ist und so weiter. Das soll aber hier nicht das Thema sein, sondern nur dieser Satz an sich. Übrigens schreibe ich hier nicht a² + b² = c², weil ich das kenne, das sich immer wieder vertan wird mit dem, was "a", "b" und "c" bedeutet, deshalb schreibe ich hier die Bedeutungen auf. Die Katheten und die Hypotenuse können heißen, wie sie wollen, die müssen nicht "a", "b" und "c" heißen.

Ja, ich glaube, mehr ist dazu nicht zu sagen: Die Seitenlängen quadrieren, die beiden Kathetenquadrate addieren, das ist gleich dem Hypotenusenquadrat, also Seitenlänge der Hypotenuse quadrieren und dann ist das beides gleich. Es ist so schön, ich weiß gar nicht, wie ich jetzt aus der Nummer jetzt rauskommen will, weil das eine so wunderbare Sache ist. Einfach deshalb halte ich das immer wieder hoch, weil es so schön ist, aber ich glaube, ich höre dann jetzt einfach auf. Ich glaub, du hast alles verstanden. Bis bald, tschüss!

Informationen zum Video
43 Kommentare
  1. Default

    Ich versteh die Zusatzaufgabe der Übungen nicht so richtig kann da jmd helfen?

    Von Noah 14, vor 13 Tagen
  2. Default

    der hintergrund und der ton könnten noch verbessert werden. Aber gut erklrt

    Von Saraygariageiger, vor etwa einem Monat
  3. Default

    witzig und super erklärt

    Von Husseinsalum55, vor 7 Monaten
  4. Img 1026

    Alter der Typ kann mit zwei verschiedenen Händen kopfüber schreiben!

    Von Afjteltow, vor etwa einem Jahr
  5. Default

    Sehr gut ich habe es gut verstanden!!

    Von Julius W., vor etwa einem Jahr
  1. Giuliano test

    @Longdo83:
    Der Satz des Pythagoras lautet a²+b²=c², wenn c die Länge der Hypotenuse und a und b die Länge der Katheten ist. Wenn du a und b gegeben hast, setzt du die Werte in die Formel ein und quadrierst diese. Um die Länge der Hypotenuse auszurechnen ziehst du die Wurzel.
    Wenn du eine Kathetenlänge und die Länge der Hypotenuse gegeben hast, setzt auch diese in die Gleichung ein und stellst sie dann nach der entsprechenden Kathete um, wie zum Beispiel b²=c²-a². Du rechnest dann c²-a² aus und ziehst auch hier wieder die Wurzel.
    Schau dir auch gerne die folgenden Videos rechts am Rand zum Satz des Pythagoras an. Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte.

    Von Giuliano Murgo, vor mehr als einem Jahr
  2. Default

    ich meinte ohne :D quatrat

    Von Long Phi, vor mehr als einem Jahr
  3. Default

    erstens, tolles video !
    Aber dein mikro ist nicht besonders gut und das stört mich ein bisschen. Du musst auch nicht ein neues kaufen nur für mich. :)
    Aber was muss man rechnen wenn man z.B. die hypotenuse und quatrat rechnen will ? oder eine kathete ?

    Von Long Phi, vor mehr als einem Jahr
  4. 9b177e5de625a8420dd839bb1561280d

    Sehr gut erklärt ! Leider sind die Hintergründe (u.a. das Bücherregal) sehr ablenkend und stören die Konzentration auf das Tatsächliche.

    Von Noah N., vor mehr als einem Jahr
  5. Default

    Danke. :) Super erklärt.

    Von Hendi1996, vor fast 2 Jahren
  6. Default

    Danke;)

    Von Cbannier34, vor etwa 2 Jahren
  7. Default

    Hallo ich finde das du das toll gemacht hast und ich habe da auch mall eine frage wenn ich mich nicht getäuscht habe kanst du mit links und rechts schreiben oder ???

    Von Bursian, vor mehr als 2 Jahren
  8. Default

    Martin du bist klasse :) danke!

    Von Emma Schenkel, vor mehr als 2 Jahren
  9. Default

    Das versteht man gut aber kannst du
    Mal ein Video machen wo du erklärst
    wie man die seiten benennt und dir die Höhen das wäre nett

    Von K Eberhardt Do, vor fast 3 Jahren
  10. Default

    sehr gut erklärt, dankeschön :)!

    Von Eudoraplus, vor fast 3 Jahren
  11. Default

    selten so gegrinst während dem lernen thx :)

    Von Tino Clandestino, vor fast 3 Jahren
  12. Default

    Good vibrations :)

    Von Tino Clandestino, vor fast 3 Jahren
  13. Default

    Sie können gut erklären! Machen Sie weiter solche tollen Videos! :-)

    Von S Pollak, vor etwa 3 Jahren
  14. Default

    Es ist echt super einfach ,doch ich habe eine schwere Textaufgabe die ich zum satz des Phytagoras nicht lösen kann .!
    Vielleicht könnt ihr mir helfen ..

    Aufgabe :
    12m entfernt von einer 14m hohen Fichte verläuft in 6m Höhe eine Telefonleitung. Die Fichte soll gefällt werden.

    a) Weise nach, das im ungünstigsten fall mit einer Gefährdung der Telefonleitung gerechnet werden muss, wenn die Fichte unmittelbar in Höhe des Erdbodens abgesägt wird.
    b) Zeige, dass keine Gefahr besteht, wenn die Fichte 1,30m über den Erdboden abgesägt wird.

    Wie soll ich dazu eine Skizze machen.? & wie berechnen .?
    Wäre nett wenn mir das jemand erklären könnte ! :)

    Von Jenni Soso, vor etwa 3 Jahren
  15. Default

    Super!!!

    Von Leon K., vor fast 4 Jahren
  16. Handy2012 384

    danke dieses Video ist gut zum lernen. DANKE

    Von Kim M., vor fast 4 Jahren
  17. Default

    den stoff den der in fast 7min erklärt kann man genau so verständlich in 30sek zusammenfassen

    Von Linus Konrad, vor etwa 4 Jahren
  18. Default

    Der Typ ist gut :D
    Habs endlich verstanden :)!

    Von Jaacky P1998, vor etwa 4 Jahren
  19. Default

    der typ is der hammer ;)

    Von Passi007, vor etwa 4 Jahren
  20. Default

    ne er ist verschwunden :D

    Von Celine13, vor etwa 4 Jahren
  21. Dsc 1175

    endlich versteh ich mal mehr als xy+a+d+j=??? .!! Super toll ,danke.!

    Von Juliane H., vor etwa 4 Jahren
  22. Default

    Prima erklärt, vielen Dank !

    Von Windläufer, vor mehr als 4 Jahren
  23. Default

    sehr gut erklärt :) hat als auffrischung für meinen techniker geholfen :)

    Von Tobias Beule, vor mehr als 4 Jahren
  24. Tumblr lzr2lfnblj1qctjnko1 500 large

    Dankeschön!!!Hab alles verstanden!!!

    Von Kopil, vor mehr als 4 Jahren
  25. Default

    Sehr gut erklärt!!!! Danke

    Von Deleted User 34741, vor mehr als 4 Jahren
  26. Default

    Sehr sehr gut erklärt!!! Hab es richtig gut verstanden. Wusste früher nur a*b*c gewusst. Vielen Dank

    Von Globus, vor fast 5 Jahren
  27. Default

    Super erklärt Danke (;

    Von Isabell Stella, vor fast 5 Jahren
  28. Default

    toll erklärt...

    Von Yasin Karabulut, vor fast 5 Jahren
  29. Default

    Dieses Video hat mir sehr geholfen unser Lehrer hat uns das noch nicht so gut erklären wollen oder erklären können

    Von Kempka, vor fast 5 Jahren
  30. Default

    Ich bin so froh, dass ich hier gelandet bin. Die Videos erklären alles so anschaulich und es is doch so einfach.. Aber die Lehrer können's einfach nicht so erklären.
    Super gemacht, ich habs endlich verstanden und kann's mir jetzt bestimmt auch merken!

    Von Sommerregen, vor etwa 6 Jahren
  31. Default

    Sehr gut Dankschön! endlich weis ich was meine lehrerin mir seid wochen in komplizierten sätzen erklären will :)

    Von Patty, vor mehr als 6 Jahren
  32. Default

    Echt cool wie das der Martin rüberbringt...echt stark Martin!!! ;-)

    Von Sahino1977, vor fast 7 Jahren
  33. I love canada

    Super! Endlich hatte ich mich mal Freude am Zuhören!

    Von Sh2311, vor fast 7 Jahren
  34. Blue hills

    Toll

    Von H. B., vor fast 7 Jahren
  35. Stefan

    Super !!! Vielen Dank - so ist es echt gut zu verstehen. :-)

    Von Urstefan, vor etwa 7 Jahren
  36. Default

    Danke, das hat echt alles viel logischer erklärt. Ihre Videos zu den Wurzeln haben mir auch gut geholfen.;)

    Von Little Britain, vor etwa 7 Jahren
  37. Default

    Super gemacht (; Weiter soooooooooo :D

    Von Robin Ms, vor etwa 7 Jahren
  38. Default

    perfekt ,besser als im Unterricht xD

    Von Pain Fu L Li, vor etwa 7 Jahren
Mehr Kommentare