Advent, Advent, 1 Monat weihnachtliche Laufzeit geschenkt.

Nicht bis zur Bescherung warten, Aktion nur gültig bis zum 18.12.2016!

Textversion des Videos

Transkript Satz des Pythagoras – Beweis nach Garfield

Hallo liebe Freundinnen und Freunde der Mathematik. Hier ist Andre mit einem Video: Lehrsatz des Pythagoras - der Beweis nach Garfield. Also wenn jetzt jemand denkt "miau, miau" - Nein, der Kater hatte seine Hand nicht im Spiel. Ich löse am Ende auf. Fragt man einen Schüler oder eine Schülerin nach dem Lehrsatz des Pythagoras, so kommt in der Regel wie aus der Pistole geschossen: a2+b2=c2. Während ich mich bemühe das Schaubild zu erstellen,  versuche ich den Satz einmal zu formulieren. In einem rechtwinkligen Dreieck (rot), ist die Summe der beiden Kathetenquadrate (lila und orange) gleich der Summe des Hypotenusenquadrates (grün).  Das wäre die korrekte Formulierung. Und schon stecken wir mitten im Beweis. Wir gehen zurück in die 70er Jahre des 18. Jahrhunderts - die Vereinigten Staaten von Amerika. Mr. Garfield, an einem lauen Sommerabend, sich die händereibend, überlegt, wie er seine politischen Ämter anstreben kann. Er kennt sich in Mathematik aus, nimmt den Lehrsatz des Pythagoras, die Formulierung, färbt ein Quadrat, noch ein Quadrat...  Tja, das sind die kleinen Personen, mit denen er nicht so viel zu tun haben möchte. Er belässt es bei einer großen Persönlichkeit. Das Dreieck symbolisiert ihn selber. Tja, und wie nun Politik machen. Er bräuchte noch einen Partner, ja so einen wie sich selbst, auch so ein Dreieck, ja aber ganz so wie sich selbst auch nicht. Er bräuchte praktisch - ja so ist es richtig - sein Spiegelbild. Er muss sich drehen. Ja, das ist gut und es gibt geometrischen Sinn. Nun noch einen seiner stärksten Partner - aber er hat ihn unterschätzt. Er muss ihn reduzieren. Da kommt nichts bei raus, was soll das? Was ist da zu tun? Der Partner ist gut, aber er ist zu groß. Ich glaube er hat es jetzt, die Hälfte davon, genau. Er muss den Partner verkleinern. Er verkleinert ihn und die Hälfte ist völlig ausreichend. Was erhalten wir jetzt? Aha, ich sehe es schon. Richtig, eine schöne glatte Figur. Das wird uns helfen. Und die Politik wird Erfolge zeitigen. Frage: Welche geometrische Figur hat Mr. Garfield bei seinen Bemühungen erhalten? Richtig, ein Trapez. Wir wollen die Seitenlängen des Trapezes beschriften. Wir sehen auf der rechten Seite ist die Seitenlänge des kleinen Quadrats, also a. Links und rechts unten haben wir die Seitenlänge des mittleren Quadrats, also b. Und links unten muss ich natürlich auch a als Seitenlänge formulieren. Wir berechnen nun den Flächeninhalt des Trapezes mit der Trapezformel. b und a sind Rund- und Deckseite der beiden parallelen Trapezseiten. Die Höhe des Trapezes ist a+b, also A=(a+b)/2×(a+b) und damit haben wir Gleichung 1. Nun berechnen wir A aus den einzelnen Teilflächen. Wir haben 2 Dreiecke. Die Dreiecksformel für den Flächeninhalt des Dreiecks ist (a×b)/2, da a senkrecht zu b steht und somit a Höhe zu b ist. Wir haben 2 Dreiecke, also schreiben wir 2×(a×b)/2 + der Hälfte des Flächeninhalts des großen Quadrats c2/2. Somit haben wir Formel 2. Wir setzen die Formel 1 und 2 über A gleich und erhalten: Linke Seite: (a+b)2/2=a×b+c2/2. Wir berechnen (a+b)2  auf der linken Seite der Gleichung, nach der binomischen Formel und erhalten a2/2+b2/2 + 2ab/2 das bedeutet ab. Die rechte Seite der Gleichung bleibt stehen. Wir schauen uns die Gleichung an und sehen, dass "ab" auf beiden Seiten stehen. Nach Subtraktion von "ab" verschwinden diese Ausdrücke. Wir multiplizieren beide Seiten der Gleichung mit 2 und erhalten: a2+b2=c2 - Was zu beweisen war. Nun noch schnell die Rechnung weggelöscht und noch einmal das Bild konstruiert, von dem wir ausgegangen sind. Und schon sind wir fast wieder am Ende. Aber ich habe noch zwei Dinge für euch. Zunächst als Nachtrag: Um einen exakten Beweis zu erhalten, müsste man die einzelnen Schritte noch ernsthaft begründen, unter anderem auch zeigen, warum es sich bei der betrachteten Figur wirklich um ein Trapez handelt. Die zweite Bemerkung betrifft den Autor. Der Autor dieses Beweises ist der amerikanische Präsident James Garfield. Er war Präsident der Vereinigten Staaten von Amerika im Jahre 1881 und starb an den Folgen eines Attentats. Er zählt, soweit ich das verstanden habe, zu den bessren amerikanischen Präsidenten. So, das war es wieder für heute. Ich hoffe ihr hattet etwas Spaß und habt auch ein wenig gelernt. Na dann bis zum nächsten Mal. Tschüss.

Informationen zum Video
7 Kommentare
  1. Default

    Tolles Video André Dankeschön ☺️

    Von Merve.Teper, vor 10 Monaten
  2. Default

    Hat geklappt danke ☺️

    Von Merve.Teper, vor 10 Monaten
  3. Felix

    @Merve Schule: Das ist womöglich ein technisches Problem. Bitte logge dich bei sofatutor aus und schließe deinen Browser (Firefox, Safari, Internet Explorer ...). Stelle sicher, dass alle Fenster deines Browser auch wirklich geschlossen sind. Öffne ihn dann erneut und logge dich wieder bei sofatutor ein und versuche es erneut.
    Wenn du weiterhin technische Probleme beim Abspielen der Videos haben solltest, kannst du dich gerne an unseren support unter support@sofatutor.com wenden. Sie werden dir dann weiterhelfen.

    Von Martin Buettner, vor 10 Monaten
  4. Default

    Es lädt einfach viel zu langsam wir sind gerade in der Schule und haben am WLAN Projekt teilgenommen

    Von Merve.Teper, vor 10 Monaten
  5. Dsc 5481

    Danke das Video hat mir sehr geholfen ! :)

    Von Lilian B., vor etwa 3 Jahren
  1. 001

    Ich tu, was ich kann. Im doppelten Sinne.

    Von André Otto, vor mehr als 6 Jahren
  2. Default

    Sehr schönes Video ! Es wäre schön, wenn du noch mehr Beweise verfilmen würdest (;

    Von Robin Ms, vor mehr als 6 Jahren
Mehr Kommentare