Richtungsableitung - Veranschaulichung.

In diesem Beitrag wollen wir uns eine anschauliche Vorstellung verschaffen, über die Begriffe Richtungsableitung und partielle Ableitung. Ich will hier einfach nur Bilder an die Tafel zeichnen und ein bisschen Handwaving machen und ich hoffe ihr habt dadurch ein bisschen mehr Anschaulichkeit und intuitives Verständnis über die Begriffe.
Wir starten in der unserer Anschauung zugänglichen Dimension. Wir haben eine Funktion, sie bildet von R2 nach R, sodass wir einen Graphen zeichnen können. Der Graph der Funktion f bildet gezeichnet eine Berglandschaft über die x-y-Ebene und aus dieser Berglandschaft habe ich einen Klotz herausgeschnitten. Ich habe in der x-y-Ebene ein Rechteck und ich habe den Graphen der Funktion f oberhalb dieses Rechtecks festgehalten und dann habe ich so ein Flächenstück. Das ist der Graph der Funktion f zum Einen. Zum Anderen haben wir einen Punkt P in der x-y-Ebene und wir wollen uns dann diesen Punkt irgendwo hier in dem Rechteck denken. Der Punkt P hat die Koordinaten x0 und y0. Hier ist der Punkt P. Außerdem haben wir einen zweidimensionalen Richtungsvektor. Wir können uns V so vorstellen, dass es ein Pfeil ist, der in der x-y-Ebene lebt und da nehmen wir diesen Pfeil V und versetzen den Anfangspunkt des Vektors V in den Punkt P. Das ist der Richtungsvektor V, der grüne Pfeil.
Wir wollen uns anschaulich klar machen, was denn die richtungsableitende Funktion f im Punkt x0, y0, das heißt im Punkt P, in die Richtung V bedeutet. Vom Richtungsvektor V setze ich voraus, dass der Vektor V die Einheitslänge hat. Das ist eine Standardvoraussetzung, das schreibe ich hier noch dazu. Also V der Länge nach ist gleich 1 dem Betrag nach gleich 1. Gut, das sind unsere Startdaten.
Um zu dieser Zahl Richtungsableitung von f in Richtung V an Punkt P zu kommen, machen wir folgende anschauliche Konstruktion: Wir können ja durch den Punkt P eine Ebene laufen lassen, unendlich viele Ebenen und dann wählen wir eine solche Ebene, die 1. parallel zur Z-Achse verläuft und den Vektor V komplett enthält. Durch diese 3 Forderungen ist die Ebene komplett festgelegt. Ebene läuft durch den Punkt P 1., 2. ist sie parallel zur Z-Achse und 3. enthält sie komplett den Vektor V.
Es gibt genau eine solche Ebene und die versuche ich nun zu zeichnen. Irgendwie so wird sie verlaufen, sie wird die x-y-Ebene vielleicht entlang der roten Linie aufschneiden, dann läuft sie vielleicht so. Die Ebene ist natürlich unendlich lang, unendlich ausgedehnt, aber ich zeichne nur einen Ausschnitt dieser Ebene. Ich versuche es alles schön parallel zu zeichnen, damit die Zeichnung nicht verwirrend ist. So haben wir unsere Ebene, nun haben wir sie hingezeichnet. Ich betone: Die Ebene verläuft durch den Punkt P, sie verläuft parallel zur Z-Achse und enthält komplett den grünen Richtungsvektor V. Und nun passiert das Wichtigste, diese Ebene nenne ich auch E, um dann eine Referenzmöglichkeit zu haben. Diese Ebene E wird aus dem Graphen der Funktion f eine Kurve herausschneiden, das Höhenprofil herausschneiden. Das heißt, diese Kurve wird mit ein bisschen Fantasie, werden wir sehen, dass sie so verlaufen wird. Das ist die Schnittkurve zwischen der Ebene E und dem Graphen der Funktion f.
Nun will ich diese Ebene E separat betrachten. Ich zeichne schon, was dann in der Ebene E, oberhalb des Punktes P passieren wird. Nun fängt die Zeichnung an verwirrend zu sein, deswegen machen wir eine neue Zeichnung, der Übersicht halber. Gut, hier irgendwo in der Ecke zeichne ich die Ebene E. Das ist die Ebene E. Die Ebene E schneidet natürlich die x-y-Ebene und diese Schnittlinie zeichne ich gerade ein. Das ist die Schnittlinie der x-y-Ebene und der Ebene E, die rote Linie. Nun kommt das Wichtigste, ach ja, auf der Schnittlinie der x-y-Ebene und der Ebene E liegt unser Punkt P. Ja, hier liegt unser Punkt P, genau in der Mitte. Auf der Schnittlinie liegt der ?? des Vektor V. Der Vektor V liegt hier. So, nun ist hier alles schön eingezeichnet und nun kommt das Wichtigste: Die Schnittlinie der Ebene E und des Graphen der Funktion f. Das ist eine ganz normale Kurve auf der Ebene. Was haben wir denn dadurch gewonnen? Dann zeichne ich natürlich den Punkt auf der Kurve oberhalb des Punktes P. Wir haben dann mit der Ebene E ein Höhenprofil hier herausgeschnitten.
Was hat das für die Anschauung bewirkt? Wir haben uns aus der Dimension 3 transportiert in die Dimension 2. Dimension 2 ist ja einfacher zu zeichnen und solche Bilder haben wir in der Analysis 1 gesehen. Wir haben einfach nur eine Koordinatenebene aus Analysis 1 mit einer Kurve und wir wissen schon aus der Schule oder aus Analysis 1, was der Begriff Steigung einer Kurve bedeutet, deswegen können wir hier in der Ebene E von Steigung der Kurve, die wir aus dem Graphen hier rausgeschnitten haben, oberhalb des Punktes P oder im Punkt P reden. Hier ist die Steigung, hier ist die Tangente, so ungefähr. So genau ist das nicht. Nun der springende Punkt: Die Steigung der hier ausgeschnittenen Kurve oberhalb des Punktes P ist zahlenmäßig genau die Richtungsableitende der Funktion f in die Richtung V. Steigung der roten Kurve oberhalb des Punktes P ist genau die Richtungsableitende der Funktion f in Richtung V im Punkt x0, y0. Das ist die grafische Interpretation der Richtungsableitung. So kann man sich die Richtungsableitung anschaulich vorstellen. Also noch ein mal. Mithilfe des Vektors V schneiden wir aus dem Graphen der Funktion f eine Kurve und die Steigung dieser Kurve ist die Richtungsableitung, jetzt grob zusammengefasst.
Gut, das war die Richtungsableitung, nun wollte ich noch die partielle Ableitung interpretieren. Wenn wir diese Arbeit schon gemacht haben mit der Richtungsableitung, ist das eine sehr einfache Sache. Wenn Vektor V in Richtung der x-Achse zeigt, dann ist die Richtungsableitung in Richtung V genau die partielle Ableitung nach x und das wollen wir noch an der Tafel festhalten. Irgendetwas muss ich hier opfern, vielleicht die Bedingungen, die sind selbstverständlich in diesem Kontext, wir wissen, worum es geht, aber die Bilder wollen wir noch behalten, die sind hier ja zentral. Also was ich gerade gesagt habe ist V der Richtungsvektor genau der 1. Einheitsvektor, der Vektor, der in die Richtung der x-Achse zeigt, das heißt der Vektor mit den Koordinaten (0,1) aus R2, so gilt: Die richtungsableitende Funktion f in Richtung E1 im Punkt P, der Punkt P war bei uns x0, y0 ist gleich eben der partiellen Ableitung der Funktion f nach der Variablen x im entsprechenden Punkt.
Das kann man vielleicht nicht sofort sehen hier, aber die Begriffe sind so konstruiert, dass wenn der Vektor V in die Richtung der x-Achse zeigt, dann fallen diese Begriffe zusammen. Das war so gemeint, das ist die Konstruktion, die dahinter steht und analog hat man mit der y-Achse. Also Ableitung, wie wollen wir das machen, sodass ich noch Platz habe? Ich versuche es mal: Ist Vektor V der Einheitsvektor in Richtung der y-Achse, ist V=E2, also der Vektor mit Koordinaten (0,1) aus R2, so gilt: Die Richtungsableitung der Funktion f in Richtung E2 im Punkt x0, y0 ist eben die partielle Ableitung der Funktion f nach y.
Okay, das war die Veranschaulichung!