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Transkript Relative Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit – Bernoulli-Theorem

Hallo. Es gibt einen Zusammenhang zwischen Wahrscheinlichkeit und relativer Häufigkeit. Dieser Zusammenhang ist nicht ganz einfach. Es gibt zwar viele Menschen, die sagen, die relative Häufigkeit ist ja eigentlich die Wahrscheinlichkeit oder man kann auch sagen, wenn man einen Zufallsversuch oft gemacht hat, dann hat man  ja die Wahrscheinlichkeit. Oder wenn ich Menschen befrage und 30% der Menschen sagen, dass sie gerne Schokolade essen, dann schließe ich daraus, dass von allen Menschen auf der Welt 30% gerne Schokolade essen. Das ist aber nicht so. Wenn das so wäre, wenn die relative Häufigkeit die Wahrscheinlichkeit wäre, dann würde es die ganze Statistik und beurteilende Statistik überhaupt nicht geben. Dann könnten wir jetzt hier Schluss machen, an der Stelle. Wie verhält sich nun die Wahrscheinlichkeit und die relative Häufigkeit zueinander? Dazu sagt das Bernoulli-Theorem etwas. Das Bernoulli-Theorem kommt oft in der Lehre der Wahrscheinlichkeitsrechnung ganz am Anfang vor. Obwohl man eigentlich viel Mathematik braucht, um das dann vernünftig zu beweisen und zu begründen. Wenn das am Anfang vorkommt, hat man diese Mathematik noch nicht und kann das eben auch so nicht erklären, aber es kommt trotzdem vor. Deshalb versuche ich, das jetzt auch so zu erklären. Möglichst einfach. Möglichst ohne Mathematik und möglichst umgangssprachlich. Jetzt kommt es. Wir brauchen zunächst ein Zufallsversuch. Ich nehme mal dieses Schaumstoffteil hier. Das kann jetzt so landen, dass es nicht rollen kann. So oder so, dann kann es nicht wegrollen. Also ich werfe das jetzt und dann landet es so, dass es nicht wegrollt. Und es kann auch so landen, dass es weiterrollen könnte. Ja, jetzt tut es das. Dankeschön. Ich nenne dieses Weiterrollen, diese Seite, nenne ich mal das Ereignis a. Es gibt eine Wahrscheinlichkeit für dieses Ereignis a. Diese Wahrscheinlichkeit soll pi(a) heißen. Warum auch immer. Das ist jetzt so. Heißt pi(a). Muss ich auch nicht weiter erklären. Wenn wir den Zufallsversuch mehrmals durchführen, könnten wir die relative Häufigkeit für das Auftreten des Ereignisses a aufschreiben. Also, wenn wir jetzt n× diesen Versuch gemacht haben, können wir die Anzahl wie oft dieses Ereignis a aufgetreten ist mit na bezeichnen. Die relative Häufigkeit wäre dann na/n. Und das schauen wir uns jetzt mal am Bernoulli-Theorem an. Wir haben einen Zufallsversuch n× durchgeführt. Da ist das n. Dabei ist na× das Ereignis a aufgetreten. Hier ist das Ereignis a. Und pi(a) ist die tatsächliche Wahrscheinlichkeit des Ereignisses a. Jetzt haben wir die Möglichkeit die Differenz zu bilden. Relative Häufigkeit - tatsächliche Wahrscheinlichkeit. Von dieser Differenz können wir den Betrag bilden, sodass wir also immer positive Werte haben. Und wir können uns jetzt eine Zahl e hernehmen. Das kann irgendeine Zahl sein. Gedacht ist jetzt an eine kleine Zahl. Ist aber hier in diesem Theorem erst mal eine beliebige Zahl. Und jetzt könnte es sein, dass der Betrag, der Differenz von relativer Häufigkeit und tatsächlicher Wahrscheinlichkeit größer oder gleich ist dieser Zahl, die wir uns ausgedacht haben. Dir wir jetzt einfach hier mal fest hingesetzt haben. Das könnte also passieren, dass diese Differenz größer ist als diese Zahl e. Und jetzt können wir, woher wir das auch immer nehmen, wird jetzt hier nicht weiter erläutert, wir könnten jetzt von dieser Situation die Wahrscheinlichkeit bilden. Und zwar p von der Situation, dass der Betrag der Differenz von relativer Häufigkeit und tatsächlicher Wahrscheinlichkeit größer oder gleich einer bestimmten Zahl ist. Von dieser Situation können wir die Wahrscheinlichkeit bilden. Also p von dieser Klammer. Und jetzt kommt die Behauptung, die in diesem Bernoulli-Theorem besteht, nämlich die Behauptung, wenn n immer größer wird und wenn n nicht nur immer größer wird, sondern tatsächlich gegen unendlich geht, dann geht diese Wahrscheinlichkeit von dieser Situation hier, gegen 0. Also die Wahrscheinlichkeit, dass die relative Häufigkeit von der tatsächlichen Wahrscheinlichkeit abweicht oder um eine bestimmte Zahl, um einen bestimmten Betrag abweicht. Die Wahrscheinlichkeit der bestimmten Abweichung, die wird immer geringer, die geht gegen 0. Je größer n wird, das heißt je häufiger man diesen Versuch wiederholt. Die Schwierigkeit im Verständnis dieses Theorems liegt darin, es gibt viele Möglichkeiten da Schwierigkeiten zu sehen, aber eine dieser Schwierigkeiten ist, dass es eine Aussage über einen Grenzwert ist. Über eine Konvergenz. Es ist eine Aussage über die Unendlichkeit. Was passiert, wenn n gegen unendlich geht. Es ist keine Aussage über große Zahlen. Das heißt, wenn man jetzt einen Versuch 10.000× durchführt und das als große Zahl empfindet, dann kann man nicht sagen, naja, dann ist das ja die Wahrscheinlichkeit. Also man kann auch nicht sagen, die relative Häufigkeit ist ja dann gleich der Wahrscheinlichkeit, wenn man das oft gemacht hat. Es geht hier um die Unendlichkeit. Also, wenn man den Versuch unendlich oft durchführen würde, dann wäre die relative Häufigkeit tatsächlich bei der Wahrscheinlichkeit oder die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die relative Häufigkeit um einen bestimmten Betrag von der tatsächlichen Wahrscheinlichkeit abweicht, die wird immer geringer. Und die geht dann, wenn n gegen unendlich geht, tatsächlich gegen 0. Das ist der Zusammenhang zwischen tatsächlicher Wahrscheinlichkeit und relativer Häufigkeit und das ist auch der Grund, warum es die beurteilende Statistik gibt, weil eben relative Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit nicht dasselbe ist. Viel Spaß damit. Tschüss.

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1 Kommentar
  1. Default

    War ganz gut

    Von Roland 4, vor 10 Monaten