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Transkript Rekonstruktion ganzrationaler Funktionen – Seilbahnaufgabe

Hallo! Hier ist eine Seilbahnaufgabe, die kommt glaub ich in jedem zweiten Schulbuch über Analysis vor. Deshalb zeig ich sie hier. Also das hier soll das Tragseil einer Seilbahn darstellen und wir möchten eine Funktion, eine ganz rationale Funktion zweiten Grades finden, die den Verlauf dieses Tragseils wiedergibt, bzw. deren Graf so verläuft, wie immer Du das formulieren willst, ist egal. Wir haben ein paar Angaben, nämlich dass hier zwei Masten sind, Seilbahn, Masten, die sind 100m auseinander, horizontale Strecke. Einer ist hier 20m hoch, der ist auch 20m hoch, der steht aber auf einem Hügel der 30 m hoch ist. Und die Steigung bei A also da ist der Punkt A, soll 0,1 sein., so wie geht man da vor. Erst mal sagst Du dir vielleicht wow ich hab ja gar kein Koordinatensystem. Richtig. Deshalb musst Du Dir erst überlegen, wo Du Dein Koordinatensystem hinsetzt, abhängig davon kannst Du dann eine Funktion bestimmen. Das ist oft so, dass man sich erst überlegen muss, wo man das Koordinatensystem hinsetzt. Das ist relativ beliebig, aber es kann natürlich sein, dass man das ungeschickt wählt und dann errechnen muss. Ich hoffe mal ich habe das geschickt gewählt. Das ist mein Vorschlag und der sieht so aus. Das Krumme das Du hier siehst, das soll natürlich das Seilbahnseil sein und ich hab den Punkt A in den Nullpunkt des Koordinatensystems gelegt, nur der Vollständigkeit halber, manche Leute stehen drauf, dass hier ein x und da ein y, ich habe böse Zuschriften bekommen, weil ich kein x und y hinschreibe. Jetzt ist es da. Da ist B. Und ich habe mir das noch einfacher gemacht, ich hab mir gedacht, ich möcht keine so großen Zahlen haben, ich nehme Einheiten von jeweils 10m. Dann sind 100m 10 Einheiten, 30 m sind 3 Einheiten, dann krieg ich schon einfache Zahlen, so ist meine Taktik dabei. So und das ist jetzt das was hier herauskommt. Ich hab das eben mal schnell zusammengeklöppelt, ich glaube es ist nicht ganz so schwierig zu erkennen, was hier gemacht wurde, deshalb gehe ich locker vor und mach das nicht in allen Einzelheiten. Das ist eine allgemeine Funktion zweiten Grades, eine ganz rationale Funktion selbstverständlich. Hier ist die Ableitung 2ax+b und in dieser Gleichung habe ich, die Angabe eingesetzt, dass die Steigung bei A=0,1 ist. A ist bei mir im Nullpunkt, deshalb kann ich für x 0 einsetzen hier in die Ableitung und 0,1 kommt raus, daraus folgt direkt, dass B=0,1 ist, wie praktisch. Dann habe ich eingesetzt, dass A sich im Nullpunkt befindet, d.h. im Nullpunkt des Koordinatensystems ist ein Punkt der Funktion, das bedeutet ich setzte für x hier 0 ein in die allgemeine Form ax²+bx+c und erhalte 0. Daraus ergibt sich das c=0 ist. Das ist noch mal praktisch, brauch ich gar nichts mehr zu rechnen. Und dann habe ich quasi den Wert da eingesetzt. Hab nämlich für x 10 eingesetzt und dann kommt 3 raus. Da ich aber jetzt schon weiß, dass B=0,1 und c=0 ist, steht hier letzten Endes 100a+1, 0,1*10 ist ja 1, gleich 3, daraus folgt direkt A=1/50 bzw. A=0,02. Und damit ist auch schon die Funktion bestimmt f(x)=0,02x²+0,1x. Ja, so schnell kann das gehen, wenn man das alles geschickt und vernünftig wählt und sich nicht zwischendrinnen verrechnet. Viel Spaß damit. Tschüss.

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