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Rekonstruktion ganzrationaler Funktionen – Parabel (2) 09:02 min

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Transkript Rekonstruktion ganzrationaler Funktionen – Parabel (2)

Hallo! Wir sind im 2. Teil unserer Parameteraufgabe, oder wie immer das Ding heißt, es gibt ja verschiedene Namen dafür. Wir haben 3 Eigenschaften gegeben und suchen eine ganzrationale Funktion zweiten Grades. Und diese drei Eigenschaften müssen wir nun in 3 Gleichungen übersetzen und dann das entstandene Gleichungssystem auflösen. Und wir erhalten dann Zahlen für a,b und c und damit ist die Funktion dann bestimmt. So einfach kann das laufen, wenn man das einfach so sagt, manchmal ist es halt schwieriger, das Ganze konkret durchzuführen. Aber jetzt kommt die konkrete Durchführung. Wenn wir wissen, dass der Punkt (0|1) zum Graphen der Funktion gehört, wir also wissen, dass wenn man in den Funktionsterm 0 einsetzt, dass dann 1 herauskommt, dann kann man auch die Gleichung schreiben, hier I genannt: a×02+b×0+c=1, unsere 1. Gleichung. Die 2. Gleichung, hier genannt II, die erhalten wir aus der Eigenschaft Nr. 2. Wir wissen nämlich, dass der Punkt (2|0) zum Graphen gehört, das bedeutet, wenn wir für x=2 einsetzen in den Funktionsterm, dann erhalten wir als Ergebnis 0. Daraus resultiert die zweite Gleichung, hier II: a×22+b×2+c=0. Die 3. Gleichung erhalten wir hier aus der Eigenschaft 3. Die Steigung bei x=-2 soll -1 sein, das bedeutet, wenn wir also in die Ableitung -2 einsetzen statt x, dann erhalten wir den Ableitungswert -1. Das bedeutet einfach das, was hier steht, nämlich, dass die Steigung bei x=-2 eben -1 ist. Daraus resultiert die dritte Gleichung, III genannt, und sie lautet: 2a×(-2)+b=-1. Ich habe also in die allgemeine Ableitung einfach für x -2 eingesetzt. Eine kurze Anmerkung: Warum haben wir hier 3 Gleichungen, warum habe ich das Ganze hier so moderiert, dass wir 3 Eigenschaften haben und daraus 3 Gleichungen entwickeln können? Weil wir 3 Variablen bestimmen möchten, das bedeutet wir wollen a,b und c bestimmen und dazu brauchen wir 3 Gleichungen. Das ist die Grundregel. Wenn man eine bestimmte Anzahl von Variablen bestimmen möchte, braucht man so genauso viele Gleichungen, wie man Variablen hat. Da gibt es auch einen schönen Satz zu, den ich jetzt hier nicht weiter erwähnen möchte, das würde zu weit führen. Es gibt dann noch ein, zwei Ausnahmen, bzw. Dinge, auf die man hinweisen möchte. Das heißt also Abhängigkeiten von Gleichungen, usw. Das führt jetzt hier zu weit, ich möchte einfach hier diese Parameteraufgabe vorstellen. 2. kurze Anmerkung dazu: Wenn wir jetzt ein Gleichungssystem haben, dann haben wir verschiedene Methoden, mit denen wir dieses Gleichungssystem lösen können. Allen voran gibt es natürlich den Gaussalgorithmus, den man auch hier schnurstracks anwenden kann, der führt natürlich immer zum Ziel. Ich habe mich jetzt dafür entschieden, das so ein bisschen locker angehen zu lassen. Es ergeben sich aus Sicht der Dinge hier ziemlich schnell einige Gleichungen, mit denen man dann auch relativ schnell fertig ist. Der Gaussalgorithmus, ganz allgemein hier angewendet, würde doch etwas aufwendiger sein und ich glaube, dass dieses Gleichungssystem für Leute, die Parameteraufgaben behandeln, im Rahmen der Analysis, doch so einfach aussehen sollte, dass man da einfach mit etwas Überblick sich die richtigen Gleichungen raussuchen kann. Und das mache ich jetzt. Und zwar darf man hier erkennen, dass aus der Gleichung I folgt, dass c=1 ist. Weiter folgt, dass die Gleichung II folgendermaßen beschrieben werden kann: 4a+2b=-1. Ich habe also in die Gleichung II statt c 1 eingesetzt und habe dann hier natürlich ×-1 gerechnet auf beiden Seiten, und so erhalte ich hier die neue Gleichung II. So und dann gehts weiter mit dem Auflösen und weiteren Umformungen des Gleichungssystems. Ich möchte jetzt im Weiteren II und III addieren, dann erhalte ich die Gleichung IV. Und die lautet dann 3b+1=-1. Wie komme ich darauf? Wenn man hier die neue Gleichung II anguckt und dazu die Gleichung III sieht, dann sehen wir: Hier in III kommt -4a vor, in II kommt +4a vor. Wenn wir beide addieren, dann ist das a quasi weg, weil -4a+4a sich zu 0 addiert. Und der Rest, der übrig geblieben ist, den habe ich dann hier hingeschrieben. Daraus folgt übrigens, dass b=-2/3 ist. Vielleicht noch zur Methode. Warum darf man das so machen? Es gilt der Satz, dass man in einem Gleichungssystem jede Gleichung mit einer Zahl ?0 multiplizieren kann, ohne dass sich die Lösungsmenge ändert. Und es gilt auch, dass man in einem Gleichungssystem 2 Gleichungen addieren kann oder auch subtrahieren kann, ohne dass sich die Lösungsmenge ändert. Und das mache ich mir hier bei den ganzen Umformungen zunutze. Das habe ich jetzt noch nachgelegt zur Methode. Wir wissen schon, wie groß c ist, wir wissen schon, wie groß b ist und können uns das jetzt zunutze machen, indem wir diese Zahlen, die wir rausgefunden haben, in eine der Gleichungen einsetzen, die wir bisher hier stehen haben. Ich möchte also den gefundenen Wert für b in III einsetzen und ich erhalte damit hier die Gleichung V. Und die lautet dann: -4a-2/3=-1. Wenn man sich das hier anguckt, III,  ich habe einfach b durch -2/3 ersetzt. Und daraus folgt dann durch elementare Umformung, dass a=1/12 ist. Und da wir jetzt a,b und c herausbekommen haben, kann ich den endgültigen Funktionsterm aufschreiben und der lautet: f(x)=1/12×x2-2/3x+1. Wenn es die Funktionsgleichung wäre, müsste hier y= dieser Term stehen. Das ist auf jeden Fall das, was rauskommt. Du solltest dann die gefundenen Zahlen noch in die Gleichung einsetzen, oder Du solltest kontrollieren, ob die gefundenen Zahlen mit den gegebenen Eigenschaften übereinstimmen. Das zeige ich jetzt hier nicht, wie das zu kontrollieren ist. Man setzt dann die entsprechenden x-Werte und y-Werte ein, das könnte ich jetzt hier zeigen und da würde das richtige rauskommen, ich habe es für mich natürlich vorher getestet. Das ist jetzt nicht weiter interessant zu sehen, dass dann das Richtige rauskommt. Aber Du solltest das vielleicht machen bei Parameteraufgaben, vor allem wenn Du sie in der Klausur hast, dass Du das noch mal testest, ob Du da richtig gerechnet hast. Ja, dann viel Spaß, bis bald. Tschüss.            

Informationen zum Video
3 Kommentare
  1. Giuliano test

    @ Ecekrezi:
    Bitte schau dir dazu die ersten beiden Videos des Thema "Ganzrationale Funktionen rekonstruieren" in unserer Lernnavigation an:
    http://www.sofatutor.com/mathematik/funktionen-und-analysis/kurvendiskussion-und-rekonstruktion-von-funktionen/ganzrationale-funktionen-rekonstruieren
    1. Video
    http://www.sofatutor.com/mathematik/videos/rekonstruktion-ganzrationaler-funktionen-uebersicht-eigenschaften?topic=1044&back_button=1
    2. Video
    http://www.sofatutor.com/mathematik/videos/ganzrationale-funktionen-aus-gegebenen-eigenschaften-bestimmen?topic=1044&back_button=1
    Wenn du die Schritte bei den drei Gleichung nachvollziehen möchtest, dann schau dir bitte die Videos zur Lösung von linearen Gleichungssystemen an.
    Ich hoffe, dass dir die Videos weiterhelfen werden.

    Von Giuliano Murgo, vor fast 2 Jahren
  2. Default

    Vielen Dank! Sehr gut erklärt. Mir persönlich haben die einzelnen Rechenschritte gefehlt, wo Sie nicht nur darstellen, welches Ergebnis rauskommt, sondern wie Sie dahin gekommen sind. Sollte ich hier eine Wissenlücke haben, wäre es nett, wenn Sie mir Videos empfehlen könnten, wo ich dieses Wissen nachholen kann. Vielen Dank!

    Von Ecekrezi, vor etwa 2 Jahren
  3. Default

    Sehr gut erklärt.... eine gute alternative zur Regression mit dem GTR.

    Von Steve K., vor etwa 3 Jahren