Schulstart-Aktion 1 Monat Laufzeit geschenkt!

Jetzt durchstarten, nur gültig bis Ende September!

Textversion des Videos

Transkript Rekonstruktion ganzrationaler Funktionen – Funktion dritten Grades (3)

Hallo! Hier ist eine Aufgabe zur Funktionsbestimmung. Wir suchen eine ganzrationale Funktion 3. Grades und es ist folgendes gegeben. Wir wissen, dass eine Nullstelle bei x=-2 liegt. Wir wissen, dass eine Wendestelle bei x=1 liegt. Wir wissen, dass eine Extremstelle bei x=-1 liegt und die Steigung bei x=2 ist -2. Die x habe ich hier alle weggelassen. Beim Schreiben, da schreibt man auch durchaus so auf, und na ja, jeweils ist damit gemeint, dass halt hier diese Zahlen dann gleich x sind. Außer hier natürlich. Weiter geht´s. Wir suchen eine ganzrationale Funktion 3. Grades. Die hat die Form f(x)=a×x3+bx2+cx+d. Das ist die allgemeine Form. Und da wir etwas wissen über die Ableitung, über die Steigung, über einen Wendepunkt, brauchen wir auch die beiden allgemeinen Ableitungen dieser Funktion. Die 1. Ableitung lautet f'(x)=3×a×x2+2×bx+c. Die 2. Ableitung f''(x) lautet 6ax+2b Wir können aus diesen 4 gegebenen Bedingungen 4 Gleichungen formen. Wir brauchen 4 Gleichungen, weil wir 4 Variablen haben, nämlich die Variablen a-d, die wir jetzt bestimmen wollen. Gleichung 1. Ich mache einfach hier mal der Reihe nach, gehe ich mal die Gleichungen durch. Wir wissen, wenn eine Nullstelle bei -2 ist, dann bedeutet es, wir können also -2 für x in den Funktionsterm einsetzen und 0 kommt heraus. Das habe ich hier gemacht. Dann wissen wir, dass eine Wendestelle bei 1 ist, das bedeutet, an der Stelle, also bei 1 muss die 2. Ableitung gleich 0 sein. Das hab ich hier gezeigt. Das x ist gar nicht mehr da, weil es ja 1 ist. Also hier habe ich eine 2. Ableitung für x=1 eingesetzt, da steht da 6a+2b=0. Gleich 0 deshalb, weil das ja eine Wendestelle sein soll. Extremstelle haben wir auch gegeben. Das bedeutet, wir wissen, dass an dieser Stelle, also bei -1, die 1. Ableitung gleich 0 ist. Deshalb hab ich hier -1 in die 1. Ableitung eingesetzt für x. Es kommt raus 3a×(-1)2+2b×(-1)+c=0. Die 4. Gleichung ergibt sich dadurch, dass wir wissen, dass die Steigung an der Stelle x=2 gleich -2 ist. Das heißt, wir können also für x die Zahl 2 in die 1. Ableitung einsetzen und erhalten als Ergebnis -2, und das hab ich hier unten gemacht. Ich glaube, ich brauche es nicht weiter vorlesen. Du kannst auch die Folien dazu auf meiner Homepage einsehen, Mathematikwerkstatt, oder hier im angegebenen Link, das findest du dann schon. Jetzt haben wir ein Gleichungssystem mit 4 Variablen, und das müssen wir jetzt noch auflösen. Das möchte ich nicht in allen Einzelheiten zeigen. Das sind so Standardumformungen, die sind relativ einfach. Meistens macht man es sowieso mit dem Taschenrechner, dass man das Gleichungssystem eintippt. Hier nur zur Andeutung, wie du vorgehen kannst. Du kannst also die 4. Gleichung und die 3. Gleichung voneinander abziehen, dann erhältst du die Gleichung römisch V. Heraus kommt dann 9a+6b=-2. Dann kannst du das 3-Fache der 2. Gleichung nehmen und davon die 5. Gleichung abziehen, erhältst damit die Gleichung römisch VI, und diese lautet dann 9a=2, und das bedeutet, dass a=2/9 ist. Wenn du jetzt schon das a berechnet hast, kannst du jetzt nacheinander in diese Gleichungen hier einsetzten. Du kannst also zum Beispiel in die 5. Gleichung einsetzen, denn in der 5. Gleichung kommt ja nur a und b vor. Wenn du a schon ausgerechnet hast, kannst du dann für a=2/9 einsetzen und kannst damit b ausrechnen. b ist dann -(2/3). Und so geht das dann weiter. Du kannst die errechneten Werte für a und b in die 3. Gleichung einsetzen, damit c ausrechnen. c ist dann gleich -2. Und du kannst a, b und c, also die errechneten Werte dafür jeweils in die Gleichung 1 einsetzen, in die 1. Gleichung hier, und erhältst dann d=4/9. Und in voller Schönheit, hier unten steht dann die Funktion, die wir herausbekommen haben. f(x)=2/9x3-2/3×(x2)-2x+4/9 Das war´s zu der Aufgabe, viel Spaß. Tschüss!

Informationen zum Video
1 Kommentar
  1. Default

    leider bleibt das Video ständig hängen (nach ca 31 sec).
    Welchen Tip könnt ihr mir da geben?

    Von Chrissy08, vor mehr als 3 Jahren