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Transkript Rekonstruktion ganzrationaler Funktionen – Funktion dritten Grades (2)

Hallo, wir sind beim zweiten Teil unserer freundlichen Parameteraufgabe. Wir haben hier diese Bedingungen gegeben. Allgemein haben wir hier die Funktionsterme der Funktion selber, der Ableitung und der zweiten Ableitung. Diese Gleichungen haben wir aus den gegebenen Bedingungen gewonnen und jetzt geht es ans auflösen. Man kann natürlich hier den Gaus-Algorithmus verwenden. Es ergibt sich aus dem, was ich hier gleich zeigen werde, fast der Gaus-Algorithmus. Ich glaube er ist es nicht ganz, aber ich habe mich auch nicht weiter drum gekümmert. Mit dem Gaus-Algorithmus kannst Du immer dieses Gleichungssystem lösen. Es gibt auch andere Verfahren, mit denen Du immer ein solches Gleichungssystem lösen kannst. Ich habe mich hier dafür entschieden einfach mal frei nach Schnauze hier vorzugehen, weil man einige Dinge doch recht praktisch hier schon sehen kann. Also, ich habe die zweite Gleichung - die erste Gleichung gerechnet und die Gleichung mit der Nummer römisch 5 erhalten. Warum? Weil dann das d verschwindet bzw. die beiden d addieren sich zu 0. Und heraus kommt als Gleichung römisch 5 19a+5b+c=2. Es geht weiter mit diesen Umformungen hier. Ich habe die Gleichung 3 - = Hoch 5 gerechnet. Warum? Weil in der Gleichung 3 ein c vorkommt. In der Gleichung 5 auch noch ein c vorkommt. Wenn ich beide voneinander abziehe, verschwindet das c. Und die neue Gleichung mit der Nummer römisch 6 heißt dann 8a+2b=-3. So, und dann habe ich mir überlegt, jetzt habe ich hier eine Gleichung, in der noch a und b vorkommt. Ich habe hier mit der Nummer 4 eine Gleichung, in der noch a und b vorkommt. Allerdings in der Gleichung Nummer 4 habe ich 2b. Ich hätte hier jetzt natürlich auch die ganze Gleichung durch 2 dividieren können. Habe ich nicht gemacht. Ich habe einfach die 6. Gleichung mit 2 multipliziert. Dann kommt in der 6. Gleichung die ich jetzt 6 2 genannt habe auch 2b vor. Dann kann ich eben rechnen 4. Gleichung - Gleichung mit der Nummer 6 2. Dann heben sich die beiden 2b auf, addieren sich zu 0 und es entsteht die Gleichung 7. Die heißt dann noch 2a=6. Oft überlegen sich Leute hier, warum heißt es nicht -6. Man muss hier immer darauf achten, ich vertue mich dann auch schon mal, wenn ich jetzt die Gleichung römisch 6 2 abziehe, dann muss ich ja hier rechnen - - 6 und das ist natürlich + 6. Ja, da muss man immer darauf achten, das man sich nicht mit einem Vorzeichen vertut. Dann ist nämlich der ganze Rest falsch. So, 2a=6 kann man auflösen zu a=3. Das ist also unsere erste Variable, die wir jetzt hier rausgefunden haben: a=3. Und das kann ich jetzt einsetzen in irgendwelche Gleichungen, an denen ich jetzt hier Spaß habe. Ich nehme hier die Gleichung 6. Das ist diese Gleichung hier oben und setze für a den gefundenen Wert 3 ein und erhalte dann 8×3+b=-3 und daraus folgt mit elementaren Umformungen das b=-27 ist. Es geht immer noch weiter, und zwar mit der Gleichung 3. Also ich habe jetzt das was wir für a ausgerechnet haben und das was wir für b ausgerechnet haben in die Gleichung 3 eingesetzt. Hier kannst Du noch mal die Gleichung 3 sehen. Für a habe ich also 3 eingesetzt und für b -27. Das Ganze ergibt dann also 27×3-6×27+c=-1. Ja, der Abstand sollte nicht sein. Egal, jetzt ist er halt da. Ja, das kann man nach c auflösen. c=80 kommt raus. Ich glaube ich muss das nicht vormachen, wie man das auflöst. Dann geht es weiter mit der Gleichung 1. Auch da kann man jetzt die gefundenen Werte einsetzen, und falls Du den Gaus-Algorithmus kennst, Du siehst es ist fast genauso. Aber da will ich nicht weiter darauf eingehen. Dieses Vorgehen ergibt sich ja hier quasi aus dem Gleichungssystem so, wie es aussieht. Wenn man das Ganze jetzt also in die erste Gleichung einsetzt, erhält man 8×3-27×4+80×l2+d=1. Dadurch kann man jetzt d ausrechnen: d=-75. Auch das zeige ich jetzt nicht. Diese Umformungen sind so elementar, dass ich das jetzt hier in der Oberstufe nicht mehr zeigen muss. Es ergibt sich dann ein Funktionsterm f und x = 3x³-27x²+80x-75. Jetzt kann man natürlich noch testen, ob man das Ganze richtig gerechnet hat. Es ist getestet. Ich zeige das jetzt hier nicht. Man würde halt die entsprechenden Werte aus den Bedingungen hier einsetzen. Also wir müssten für x 2 einsetzen um gucken ob 1 rauskommt, das ist der Fall. Wir müssten für x 3 einsetzen und gucken ob dann auch 3 rauskommt bei dem Term. Ebenso müssten wir 3 in die erste Ableitung einsetzen, dann müsste -1 rauskommen, und wenn wir 3 in die zweite Ableitung einsetzen, muss 0 rauskommen. Das ist hier jeweils der Fall. Ich mache es nicht vor. Weil dann stehen einfach Zahlen und es kommt das richtige bei raus. Das ist soweit langweilig. Aber Du müsstest das bitte machen, wenn Du so was in einer Klausur hast oder auch wenn Du solche Aufgaben als Hausaufgabe auf hast. Viel Spaß damit. Tschüss.

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3 Kommentare
  1. Default

    Sehr gut gemacht ^^

    Von Melika O., vor etwa einem Jahr
  2. Giuliano test

    @Muhammedkani T.:
    Leider haben wir kein Video zur Lösung eines linearen Gleichungssystems mit vier Variablen und vier Gleichungen. Das Verfahren kannst du aber trotzdem anwenden. Die addierst oder subtrahierst die vier Zeilen so miteinander, bis du auf die charakteristische Dreiecksstruktur kommst bzw. nur noch eine Gleichung mit einer Variablen erhältst.
    Bitte wende dich mit deiner konkreten Aufgabe und Rechnung an den Fach-Chat, der dir täglich kostenlos (!) von 17-19 Uhr zur Verfügung steht oder schreibe eine Mail mit deiner Rechnung und der Aufgabe an den Support unter support@sofatutor.com. Diese werden dann deine Anfrage an die Fach-Redaktion Mathematik (und damit auch an mich) weiterleiten.
    Ich hoffe, dass wir dir helfen können.

    Von Giuliano Murgo, vor fast 2 Jahren
  3. Default

    Hallo, es ist sehr verständlich erklärt. Ich habe so ziemlich alles verstanden, jedoch habe ich ein kleines Problem. Ich soll das Gaußverfahren anwenden zur Bestimmung einer Funktion 4. Grades und dazu finde ich kein Video und so krieg ich das nicht hin .

    Von Muhammedkani T., vor fast 2 Jahren