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Reihen 17:47 min

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Transkript Reihen

Hallo und willkommen. Es geht um sogenannte Reihen. Reihen sind spezielle Zahlenfolgen und wir wollen uns die mal definieren. Nehmen wir uns zunächst einmal irgendeine Zahlenfolge. Dann können wir uns eine weitere Zahlenfolge von dieser Zahlenfolge ausgehend definieren, indem wir alle Elemente bis zum Enden, und k lassen wir - k wir aufgefangen - von 1 bis n. So hätten wir uns jetzt dann hier eine neue Zahlenfolge definiert, die immer alle Elemente der Zahlenfolge bis zum Enden aufaddiert. Das wird wieder eine neue Zahlenfolge und diese Zahlenfolge ist jetzt eine Reihe, die Reihe zu dieser Zahlenfolge. Und was jetzt interessant ist, ist Folgendes. Die Frage, ob der Limes dieser Summe, also der Reihe, existiert. Dann wird das n hier oben also die obere Grenze unendlich gehen lassen. Also, weil man immer mehr, immer mehr von diesen Elementen mitnimmt und diese aufaddiert, dann stellt sich die Frage, existiert das? Also noch mal. Diese aus irgendeiner Zahlenfolge konstruierte neue Zahlenfolge über eine Summe nennt man die Reihe. Reihe dieser Zahlenfolge. Manchmal meint man damit aber einfach nur diese unendliche Summe. Auf jeden Fall meint man dann mit diesem Begriff Reihe dieses Objekt, also den Grenzwert. Die Frage ist jetzt, ob dieser Grenzwert konvergiert oder nicht, ob er existiert oder nicht, also ob die Reihe konvergiert oder nicht. Also man fragt hier nach der Konvergenz der Reihe. Und das schauen wir uns mal anhand von Beispielen an. Nehmen wir mal die ganz triviale Reihenfolge, die so definiert ist. Wie sieht die aus? Muss ich mal hinschreiben: 1, 2, 3, 4, 5, usw. Wenn wir daraus jetzt mal unsere Reihe konstruieren, was kommt dann raus? 1+2 usw. das Ganze bis n. Und es ist uns klar, dass wenn wir das jetzt bis ins Unendliche addieren - also immer mehr Summanden hinten dran hängen, dass dann unendlich herauskommt. Das ist uns klar. Das ist ziemlich einfach zu vermuten. Wenn man die Zahlen immer aufaddiert, dann wird die Summe immer, immer größer ohne Grenzwert. Sie divergiert gen unendlich. Der Grenzwert existiert nicht und die Reihe ist divergent. Die wichtigste Reihe oder eine wichtige Klasse von Reihen sind die sogenannten geometrischen Reihen. Die Zahlenfolge, die damit verbunden ist, sieht so aus: q ist irgendeine reelle Zahl und die Reihe wäre dann also - wir lassen jetzt mal das k, also den Index von 0 laufen. Dann beginnen wir hier mit 0 und wir addieren alle Elemente der Zahlenfolge auf bis zum Enden. Das schöne ist hier bei dieser geometrischen Reihe, dass wir sie tatsächlich ausrechnen können und dann können wir auch sehr genau sehen, unter welchen Bedingungen die entsprechende Reihe dann konvergiert. Das können wir schnell mit ein paar Tricks ausrechnen. Also das wäre das n-te Element der Reihe, man nennt es auch die n-te in der Partialsumme der Reihe, das gilt jetzt allgemein für die Reihen. So, das wäre die n-te Partialsumme und die können wir tatsächlich ausrechnen. Wir multiplizieren das Ganze mal von links mit q. Multiplizieren das hier rein das q, auf der Seite entsteht also q×Sn und hier erhöhen sich die Potenzen mal eine Zahl. Also der letzte Summand ist jetzt dieser hier. Was hier jetzt steht, sieht fast so aus wie Sn+1. Also für den Index n+1, bis auf die 1, die fehlt, die erste Zahl. Nun ja, die kann man ja abziehen. Und dann ist das, was hier jetzt steht, ist nichts weiter als die Sn+ erste Partialsumme -1. Also wenn wir noch die 1 hinzuaddieren, dann würden wir sehen, dass es Sn+1 ist. Also das ist die n+ erste Partialsumme -1. So, was ist aber die n+ erste Partialsumme? Die können wir ausdrücken über Sn, das ist nichts weiter als Sn+ - was unterscheidet Sn und Sn+1 und der letzte Summand? Wenn wir zu diesem Sn noch den Summanden qn+1 dazuaddieren, dann haben wir Sn+1. Also das hier ist Sn+1. Was wir jetzt gewonnen haben, ist eine Formel, die wir nach Sn umstellen können. Dann haben wir die partial berechnet die n-te. Wie sieht das jetzt aus, wenn man das umstellt? Dann kommt man auf diesen Ausdruck oder, wenn wir das Ganze mit -1 multiplizieren, auf diesen Quotienten. Das heißt also die n-te Partialsumme der geometrischen Reihe, lässt sich so schreiben. Und jetzt kann man sehr schön sehen, was passiert, wenn n gegen unendlich geht. Wir lassen das q mal positiv sein, machen wir daraus jetzt also positive reelle Zahlen. Die Frage ist jetzt, was passiert, wenn das q größer als 1 ist? Wenn q größer als 1 ist - also wir lassen das jetzt positiv sein, damit die Betrachtung etwas einfacher ist. Also wenn das q also großer als 1 ist, dann geht das hier immer größer, immer größer, das hier unten bleibt so, wie es ist und dann divergiert das Ganze. Wenn q genau 1 ist, was passiert dann? Dann haben wir hier unten ein Problem. Wir dürfen nicht durch 0 teilen, deshalb können wir also die Frage für q=1 erst mal so nicht klären. Also nicht anhand dieser Formel. Aber wenn wir uns mal anschauen würden, was hier passieren würde, wenn wir das q=1 setzen würden, dann würden hier lauter 1en dazu addiert werden und es würden immer mehr 1en werden. Also für den Fall, das q=1 ist, können wir jetzt mit dieser Formel nicht berechnen, aber wir wissen es. Wir wissen es, wenn wir uns das hier anschauen. Also hier für q=1 haben wir lauter 1en, wir addieren lauter 1en. Wenn wir unendlich viele 1en am Ende haben - um es jetzt hier zu sagen, es geht hier für n gegen unendlich, dann gegen unendlich. Wenn q also 1 ist, dann werden lauter 1en zusammenaddiert, wenn es unendlich viele davon sind, dann geht es auch gegen unendlich. Wie ist es denn jetzt, wenn das q also zwischen 0 und 1 liegt. Bei 0 können wir uns die Frage beantworten und können die Formel benutzen. Und hier ist es auch klar, wenn q 0 ist, dann ist es immer nur die 1 ist. Und falls kleiner als 1 ist - wir schauen uns jetzt also an, was jetzt hier passiert. Wenn q also - nehmen wir am besten die Formel hier. Wenn q kleiner als 1 ist, dann geht qn+1 für n wie unendlich gegen 0. Übrig bleibt 1/1-q und das q können wir auch auf 0 setzen, dann sehen wir, dass es die 1 ist. Und sofern können wir jetzt schreiben. Wichtige geometrische Reihe aus n wie unendlich, lassen das k von 0 laufen, qk. Das geht also, wenn wir das jetzt zusammenfassen. Das ist entweder unendlich, divergiert also für q≥1 oder es ist diese ganz harmlose Formel 1/1-q. Also wenn das Intervall von 0 und 1 offen stand. Also das steht für das Intervall, wenn es offen ist. Schauen wir uns das Ganze mal an einem Beispiel an. Falls q=½, ergibt sich etwas Schönes. Dann sieht also die Reihe so aus. Und was kommt heraus? q ist ja kleiner als 1 und das heißt, wir können diese Formel hier nehmen und heraus kommt der Nenner unten. Der ist ½. 1/½=2. Das heißt diese Summe, diese Reihe konvergiert gegen 2. Das ist eine schöne Formel. Weitere Beispiele schauen wir uns mal an. Nehmern wir uns diese Folge 1/n. Wie sieht die aus als Zahlenfolge? Das n läuft bei 1 los, durch 0 dürfen wir nicht teilen. Also 1, ½, 1/3, ¼, usw. So sieht diese Zahlenfolge aus. Und wenn wir jetzt mal die Reihe uns anschauen dazu, dann können wir uns schon mal fragen, ob dieser Grenzwert hier existiert. Wie sieht das aus? 1+½+1/3 usw. Und was wir hier sehen, ist, dass die Summanden, die dazu kommen, immer kleiner werden. Aber die Frage ist, wie schnell werden die kleiner? Die müssen sehr schnell kleiner werden und man kann zeigen, dass diese Reihe divergiert. Man nennt diese Reihe die sogenannte harmonische Reihe. Und von der harmonischen Reihe kann man zeigen, dass sie divergiert. Nehmen wir uns noch ein weiteres Beispiel. Wenn das die Zahlenfolge ist, dann sieht die zugehörige Reihe so aus, also der Grenzwert der Reihe. Und man kann zeigen, dass das tatsächlich existiert. Es ist kleiner als unendlich, es existiert also. Es ist nicht so einfach und auch nicht Gegenstand dieses Videos, diese Reihen und Grenzwerte zu berechnen. Bei geometrischen Reihen haben wir also eine Formel gefunden aber im Allgemeinen gibt es so ein Rezept nicht. Was ich vielleicht noch zu Reihen sagen sollte, dass es ein notwendiges Kriterium für die Konvergenzfindung von Reihen gibt. Es lässt sich wie folgt formulieren. Wenn diese Reihe hier existieren soll - oder machen wir es anders, wir sagen, sie soll existieren. Dann muss diese dazu gehörige Zahlenfolge gegen 0 gehen. Denn das, was wir dazuaddieren, muss immer, immer kleiner werden. Das ist also das absolut Mindeste. Also wenn das existiert, dann ist das immer so, dass diese Folge eine 0-Folge ist. Das bedeutet, dass das eine 0-Folge ist, ist das Mindeste, sonst kann die Reihe nicht konvergieren. Das ist das Mindestkriterium, das muss notwendig erfüllt sein, sonst kann diese Reihe gar nicht existieren. Also wenn diese Zahlenfolge, die Folge der Summanden keine 0-Folge wäre, dann könnte diese Reihe gar nicht konvergieren. Das ist das absolute Minimum an dessen, was erfüllt sein muss. Das heißt aber nicht, dass falls diese Folge der Summanden eine 0-Folge ist, daraus auch schon folgt, dass die Reihe konvergiert. Das heißt es nicht, also das folgt mit Sicherheit nicht. Das heißt, dass die Folge der Summanden eine 0-Folge bildet, also diese Summanden gegen 0 gehen, also das, was dazuaddiert immer, immer kleiner wird, reicht noch nicht dafür, dass die Reihe konvergiert. Dazu schauen wir uns mal ein berühmtes Beispiel an. Die sogenannte harmonische Reihe. Bei der harmonischen Reihe ist es zwar so, dass die Folge der Summanden - wie ist sie definiert? 1/n also. Wie sieht die Folge aus? Das ist also 1, ½, 1/3, usw. Also hier können wir sehen, dass die Folge tatsächlich eine 0-Folge ist, sie geht also gegen 0. Aber man kann zeigen, dass dieser Grenzwert nicht existiert und sie divergiert, und zwar gegen unendlich geht. Hier ist das Problem eben, dass zwar die Summandenfolge gegen 0 geht, aber nicht schnell genug. Sodass immer wieder etwas dazu addiert wird und es wird nicht schnell genug klein, sodass am Ende also die Reihe divergiert. Das war es auch jetzt schon zur Reihe. Ich bedanke mich fürs Zuhören.

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9 Kommentare
  1. Felix

    @Offhess069: Es wird bei der Gleichung s_n=(1-q^(n+1))/(1-q) nicht auf beiden Seiten mit -1 multipliziert, sondern der Bruch auf der rechten Seite wird mit -1 erweitert. Bei dem Bruch (1-q^(n+1))/(1-q) wird der Zähler und Nenner jeweils mit -1 multipliziert, sodass du (1-q^(n+1))/(1-q) erhältst. Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte.

    Von Martin Buettner, vor 26 Tagen
  2. Default

    wieso hast du bei der 2ten formel der geoemtrischen reihe mal -1 multiliziert und dabei müsste doch auch die sn -1 mal mutlipliziert werden:?

    Von Offhess069, vor etwa einem Monat
  3. Default

    Damals war das Mikro zu empfindlich eingestellt, so dass Schmatzgeraeusche aufgenommen wurden, die man normalerweise nicht hoert. Andere erklaeren besser und schmatzen weniger.

    Von Lutz Klaczynski, vor 11 Monaten
  4. Default

    wie kann man denn bei einem Video kaugummi kauen?! das kann ich mir nicht anhören

    Von Ca Nolte, vor 11 Monaten
  5. Default

    Danke

    Von Stuschud, vor etwa einem Jahr
  1. Default

    gutes Video

    Von Daniel3011, vor mehr als einem Jahr
  2. Default

    coole erklärung, macht spaß

    Von Michael.Reiter, vor fast 7 Jahren
  3. Default

    Tolles Video!
    Dank dir

    Von Joh One, vor etwa 7 Jahren
  4. Default

    ich finde deine videos die besten hier weiter so !!!!!!

    Von Francesco81, vor etwa 7 Jahren
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